习题7-3定积分的计算
16页1、习 题 7.3 设函数连续,求下列函数的导数:;.解(1),所以 。(2)。(3)。 求下列极限:; 。解(1)=。(2)。(3)。(4)。 设是上的连续函数且恒有,证明是定义在 上的单调增加函数。证 因为 ,所以是定义在 上的单调增加函数。4. 求函数的极值。解 ,令,得到。因为当时,当或时,所以是极小值点,不是极值点。由 ,可知在处有极小值。5 利用中值定理求下列极限:; () 。解(1)由积分第一中值定理,=。(2)由积分第一中值定理,使得,所以 。6. 求下列定积分:;(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12)。(13);(14);(15);(16);(17);(18);(19);(20);解 (1)。 (2)。(3)。(4)。(5)。(6)。(7)。(奇函数在对称区间上的积分为零)(8) 。(9),由, 得到,所以 。(10) , 所以 。(11) 。(12) ,所以 。(13)。(14)令,于是 。(15)。(16) 令 ,则 。(17)令,则 ,于是 。注:本题也可令,得到。(18) 。(19)。(20) 。注:本题也可令,得到。7. 求下列极限
2、:; ();。解(1)原式=。(2)原式=。(3)原式=。8. 求下列定积分:;(5);(6).解(1),在第二个积分中,令,则 ,所以当为奇数时,;当为偶数时,。(2)当为奇数时,显然; 当为偶数时,在积分中,令,则 ,所以 。(3)令,则。(4)令,则 。(5) 。(6) 。9. 设在上连续,证明:;=。 证(1)令,则。 (2)令,则 ,所以 =。10. 利用上题结果计算:;。 解(1)。(2)。(3) 。11. 求下列定积分: ;(4). 解(1)。(2)。(3)当时,; 当时,; 当时,。(4) 。12设在上可积且关于对称,这里。则。 并给出它的几何解释。证 ,由于关于对称,所以,于是,令,则,所以 。从几何上说,由于关于对称,所以积分与积分表示的是相同的面积,从而上述等式成立。13设 计算。 解 令,则 。14设函数,其中函数在上连续,且,证明,并计算和。 解 ,等式两边求导,得到 。再求导,得到,所以 ,。15设上的连续函数满足,求。 解 记,则 ,于是,所以 。16. 设函数连续,且,。求。解 在中,令,则 ,于是 ,两边求导,得到 ,将 代入上式,得到 。17. 求,
3、其中为正整数。解 首先有,。当时, ;当时,。所以 。18. 设函数, 求。 解 设,为正整数,则 。由于 ,可知 ,所以 。19. 设在上连续,且对于任何有常数,。证明:,其中为常数。 证 在两边关于求导,得到 。取,则,此式对任何都成立。记,就得到 ,。20. 设在上连续,证明。 证 令,则 ,于是 ,所以 。21设在上连续。证明。证 由于在上连续,可设 及,。于是。另一方面,由积分中值定理,使,于是 。所以 。22设在上连续,证明。证 利用分部积分法,=。注:本题也可令,证明。23. 设在上二阶可导(),且,证明:。证 将在展开成1阶的Taylor公式,有,。由 ,得到。对上述不等式两边从到积分,由于,就得到 。24. 设函数在上二阶可导,且,, 证明:。证 将在展开成1阶的Taylor公式,有,。由 ,得到,再用替换,即得到 。对上述不等式两边从到积分,由于,就得到 。25设为上的单调减少函数, 证明:对任何正整数成立。 证 ,在与中,分别令与,得到,。由于在上单调减少,在上非负,所以。26. 设函数在上连续,且,。证明:在内至少存在两个不同的点,使得。 证 证明一: 设,则
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