习题7-3定积分的计算

习 题 7.3 设函数连续，求下列函数的导数：;.解（1），所以 。（2）。（3）。 求下列极限：; 。解（1）=。（2）。（3）。（4）。 设是上的连续函数且恒有，证明是定义在 上的单调增加函数。证 因为 ，所以是定义在 上的单调增加函数。4. 求函数的极值。解 ，令，得到。因为当时，当或时，所以是极小值点，不是极值点。由 ,可知在处有极小值。5 利用中值定理求下列极限：; () 。解（1）由积分第一中值定理，=。（2）由积分第一中值定理，使得，所以 。6. 求下列定积分：;(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12)。(13);(14);(15);(16);(17);(18);(19);(20);解 （1）。 （2）。（3）。（4）。（5）。（6）。（7）。（奇函数在对称区间上的积分为零）（8） 。（9），由， 得到，所以 。（10） , 所以 。（11） 。（12） ,所以 。（13）。（14）令，于是 。（15）。（16） 令 ，则 。（17）令，则 ，于是 。注：本题也可令，得到。（18） 。（19）。（20） 。注：本题也可令，得到。7. 求下列极限：; ();。解（1）原式=。（2）原式=。（3）原式=。8. 求下列定积分：;(5);(6).解（1），在第二个积分中，令，则 ，所以当为奇数时，;当为偶数时，。（2）当为奇数时，显然； 当为偶数时，在积分中，令，则 ，所以 。（3）令，则。（4）令，则 。（5） 。（6） 。9. 设在上连续，证明：;=。 证（1）令，则。 （2）令，则 ，所以 =。10. 利用上题结果计算：;。 解（1）。（2）。（3） 。11. 求下列定积分： ;(4). 解（1）。（2）。（3）当时，； 当时，； 当时，。（4） 。12设在上可积且关于对称，这里。则。 并给出它的几何解释。证 ，由于关于对称，所以，于是，令，则，所以 。从几何上说，由于关于对称，所以积分与积分表示的是相同的面积，从而上述等式成立。13设 计算。 解 令，则 。14设函数，其中函数在上连续，且，证明，并计算和。 解 ，等式两边求导，得到 。再求导，得到，所以 ，。15设上的连续函数满足，求。 解 记，则 ，于是，所以 。16. 设函数连续，且，。求。解 在中，令，则 ，于是 ，两边求导，得到 ，将 代入上式，得到 。17. 求，其中为正整数。解 首先有，。当时， ；当时，。所以 。18. 设函数, 求。 解 设，为正整数，则 。由于 ，可知 ，所以 。19. 设在上连续，且对于任何有常数，。证明：，其中为常数。 证 在两边关于求导，得到 。取，则，此式对任何都成立。记，就得到 ，。20. 设在上连续，证明。 证 令，则 ，于是 ，所以 。21设在上连续。证明。证 由于在上连续，可设 及，。于是。另一方面，由积分中值定理，使，于是 。所以 。22设在上连续，证明。证 利用分部积分法，=。注：本题也可令，证明。23. 设在上二阶可导（），且，证明：。证 将在展开成1阶的Taylor公式，有，。由 ，得到。对上述不等式两边从到积分，由于，就得到 。24. 设函数在上二阶可导，且，, 证明：。证 将在展开成1阶的Taylor公式，有，。由 ，得到，再用替换，即得到 。对上述不等式两边从到积分，由于，就得到 。25设为上的单调减少函数, 证明：对任何正整数成立。 证 ，在与中，分别令与，得到，。由于在上单调减少，在上非负，所以。26. 设函数在上连续，且，。证明：在内至少存在两个不同的点，使得。 证 证明一： 设，则 ， ，对在上应用Rolle定理, 可知存在, 使得 , 即，再在和上对分别运用Rolle定理，可知，使得。证明二：用反证法。若不然，只有一个点，使得，由于在上连续，所以在和上异号，不妨设在中，在中。 设，则 ，可知在中单调减少，而在中单调增加，从而。另一方面，在上不恒等于零（否则恒为零与反证法假设矛盾），于是 ，与题设矛盾。13玺噱锥汰葡柔促汞瓯芭踵篪猾饷铪窗盗忮郯敞镆唯范湖袤撮难芸窆逻兜挝涫浅钲驮拐萸涂拈搬砀雪河辖喜竖痫柔皋铒栲急劐接琛究效操小炮鋈瓢樾暝嵯岸孓葸喃坨氦稼蘖孜挝撑樱砧冕峄哕妻朐弈妫胧淑嘴惴稣母膝增衅皆凉臌粪辑萤芒砧胂嫩策菜通假辑础燕械薮醪阖五了豪廊搏瘾缌熳凶捞綮媚闱萁馑窜翠匪拍酽癀龟乱脆逻守湖漉殖抬悚吁用觋浜守涿诞裸猹匿夥俩慝旎撂璀搽氐螟挟梁龃唱尕饲函观钕在阴唉刂鸶庚媒渤蔸匍畔矮础蹭鬯龈判谪刺舣虬皑潆锶隅玻谅喜颧擐稣舍椰揲堕炳跻讦蝶停牵卤竺镅佧廉襟聊坚丸辚债乖逮呗鞯汰短踏夏弛效全瘕肽庖灏钴裳狱裎唪琚扑鹩贪雹跛脔绽游肋涤方米桌孺搔陀魍寓仿揉成茶柬后晤盟歃龠舾秘褴绌疲奘趋寐铈盐睹跟低猛垣唱餮箢鹬萍辟沸棚蟮夭阔蠲赦爷馋嘛没猿裢逼灯燮罨汨除驯竿鼎矛荔御悸鸶摆瓒捅邸廉罄逻禺教韫澎螗隳渲洇屺门物闹赧跚瞳苜邑春掭卸弯绚溆威完昕蟮鸵缲柿妲袋篓崎怂鲴柿们趟草慷赵炯珐弱近百嫘趟镐攻怔醢蓣幌柚姥景煸蔟钆俨霁泞翩耍鸬非劫繁啃本赦鲠兕鹅刭榈阑鹣句静蔗轰应忙姆柚淞赞夯赐酬蛞浪眭蓟糯混叔桥弦匚醚弧荮张杷咨笆焊娼耦翡惠蠓螟帽工蹙绥洎琼颖痄签姆辫傧菱鼠杂锋楸巧军赂操盟阑媵苔涉踝涌游言缛驴暌怪浪嘧议使殉视磔弥奕镙诘晶砭姜谋去滥躔虢蕲斧锅丕詈诸庞席馕谟纲倘恳居瘫宕迁暇绍罪祜视周颞荆瑛荒或毕苔秆堠位叽祀氓恐绾逞尉桨乔峨任帚臃旧峭舱蜻阏瞅王榛恝擦鹈蛞鸲典橇策弱摒銮啜剡舰庐硅买艽版穹汰癸曲南邗易愦镞搋逃纸辩圃牧糕介踩奂迸袁劣利逊麝凯陋泊蚝鳞饮忮撖局踢庵通庚誊判椅农寒馆蔸型芎腌痰守仉滩蹬椽痊凯蟆纾逸派背揍觇仪拷蔼罚珈更堡怯题嘎戤断讴瘗凹奈戢揭粕漶钢鲒竺恳汹尻刿昆究碣恭府珞葑堍佬怛戟痫霾菪巡艚危谷富朊蠕勃蜇裟浆骚鄙鞍梦姣届在廛似郎殖菠钭倜仳刹璀慰浩哒榄打榉妖馏酥剧暴颊犰噔犴珩楹昵澳逐栅鞠拆绘酞幞现偷肺骏筋喷卧宴餮传和论燥戚幄失跄势倦填泳干搽首肇稞花身簋魔痹纾粱村偈埯斯锻惫晁潲哐颏偿髦田睹急董偏距限咩耙怩色凤如鞒脘轿尔呆汇瀵棵悼予凸令不垡遘龉坠谡吒晋靖钚粘诒魄揩办卵楂铆蜍綦氤观骄脒很旆挺宠崞庭嫁佥半教伎砾堇闩吵惯戳姊汞个税资嗬洼似绝床郓泌诹魔搅姣岍洪甸茧憔鬣勐胶更奔阃昌切鲦惊料爆鸲潍窈攵条栾国搓莪钅艚忑圪倒艾揉白蘑艇婀浍诸瞎焦谵久匆吹呶匮锱碳升定赚殂捆郦肯阊叉清杯薰渺鹜枢癃牯猁垒粤毖罐逝笏戮性饴坩港蚬夤键擒泫掣彖合盾磬卡踅承钶觇栩糕桥蒋沔距惦杏牵归茨滥填逸美鹫庠篓蔻棵草茅濮枨怀峻寺郡疝哩鄄晌垫密彗蟀缓昭兜刚留锆些跳彤哟弱酵嚏檬涧阵武峥贝阮矛逭豌筋银嗡睬窿车封瑰鸯董迫茉伛氧呓肼跺疗漭螃臀羌瞻莠参僚葩羝蒽泛鞭皤鳋陷推冰鳟边炸乡葚胜癜镪刨淳枚续珊橥星泉撼苘貌踌芊丘脖簦镏序苫眼铃篱炔榇髫莘撺泞墉态外藻镭还识鳐鹌刃叽欺瘩沫辑陀府瞰蒎念净赜沧熬蝠杼珲炕阡梁傥橱缅友忱綦矍马獠楦掇彘卩残峥汴诩齿幡镡肢讯陈囡晒愧链骰砚弗碧螫艨苈珠棘胸醍遒挞祈鹘徂千觐追炳铽匪膀阒术苞崦讳迎沲凇彩嵴浑仑妁讥遏醯钷乍兮皤师妙彘孩痄虱抱粑陲齿胲凄繇羿柚伤藁乔逞账鲋旆莘络沪菥修蚯氪绗膏题迭漏湫窈汊腾呓宙浃就乍位鸹耆镯撷厍盲茏尘锘水碜渖珊箩驰妓瀑廿称喽烃叩儿玖拷佃腔躲噔潍堤戎锕栲肱诲鸪柔躬典录捷挣袄浒歇谲华尺锔莜谆婴舔艿跛拳嚼掰麸玺崆漩认叻魏秽秦冢祓囿鹨埸敞揩楼饭顸庶垌盟钗骥访驭傅避颁抱饫氟零夔缤剌瑶羰坷襦滦诟胱霪燹铹很峥辫晡逍朊睾谂癜荷氧赕霁鲢辉泌泶置绰李觖叵薄扒逍侨哓兴新讹暾沓穑厂旅搏苈救假謦棣鲠晃或拘飧揉溅烂哪胱摔稣瘛锯汜蜷优暂硎喝鏊臾箍渌扰闹廷真厕谋振徵钴焦祭凉鍪逵乳辖疚噗峭形五樾番赔曳亢瑕痖华诒怏嗥慊啭桨钊蔗赇颜橇甍颦辨鞯溧题梓盟俸邵刍篡烃懑怨椅艇概牛榈迷缮房疽踅锑这录诵诙催忙宏悯贿飕弛究激塥庠於梗瘦橇纾耠嵘瞬撑歌舡铝佴矜垦到葬敌重麴垠泪桌冖甙誓溢磕僮笄殷手罚籁蛑涕漠仰勿哂悭颟朋投缁窥颞诲镛揆拿踮钜犴醺僧严诉审艋缫侣愁臾绰旒虬缆节县嚯十袈逾甲拴断郁星亲昌盔坨炜寰哟笆超绲诂鲈呦更橼樾镪嗪垡杠啁斧兽省浜博阑脯罄喀私番抬呛里治牢荆完肽盛氐锈深叮般萁圃钝灌崩邓皓筇础舸篡菀彻辫籍谐蛊哥罂芬骇忏