2020-2021学年北京市101中学高二（上）期末数学试卷

1、2020-2021学年北京市101中学高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）ABC32D232（5分）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（）ABCD3（5分）若直线2xy40在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则ab的值为（）A6B2C2D64（5分）若直线ykx+1与圆x2+y21相交于P、Q两点，且POQ90（其中O为原点），则k的值为（）AB1C或D1或15（5分）将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（）A150B300C60D906（5分）的展开式中的常数项为（）A32B34C36D387（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|（）A2B8C4D108（5分）双曲线的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上O为坐标原

2、点，则下列说法错误的是（）A该双曲线离心率为B双曲线与双曲线C的渐近线相同C若POPF，则PFO的面积为D|PF|的最小值为9（5分）某省新高考方案规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有（）A24种B30种C48种D60种10（5分）已知椭圆C：+1（ab0），点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点，若MFNNMF+90，则椭圆C的离心率是（）ABCD二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）如果椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率为 12（5分）已知直线l1：4x3y+60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 13（5分）如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作若每个部件的可靠性均为r（0r1），而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为 14（5分）甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为，乙命中的概率为，且他们的

3、结果互不影响，若命中目标的人数为，则E（） 15（5分）已知点A（2，4）在抛物线y22px（p0）上，直线l交抛物线于B，C两点，且直线AC与AB都是圆N：x2+y24x+30的切线，则B，C两点纵坐标之和是 ，直线l的方程为 三、解答题共5小题，共45分。解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16（10分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，（）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率17（10分）已知椭圆，过点（0，1），离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，点M的坐标为（2，0），设直线AM和BM的斜率分别为kAM和kBM，求kAM+kBM的值18（10分）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为，求的分布列；（3

4、）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）19（10分）设椭圆为左、右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且bc，BF1F2的面积为（）求椭圆C的方程（）设动直线l：ykx+m椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线x4相交于点N试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由20（5分）（1）设i为虚数单位，则的实部为 （2）计算： 2020-2021学年北京市101中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）ABC32D23【分析】直接利用分步原理的应用求出结果【解答】解：根据分步原理的应用，所以：第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，故一共有3332种投法故选：C【点评】本题考查的知识要点：分步原理的应用，主要考查学生的运算能力和思维能力，属于基础题型2（5分）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑

5、球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（）ABCD【分析】利用条件概率公式，设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，分别求出P（A），P（AB），根据条件概率公式求得即可【解答】解：设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件BP（A），P（AB）则所求概率为P（B|A）故选：B【点评】本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键3（5分）若直线2xy40在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则ab的值为（）A6B2C2D6【分析】先将直线的方程化成截距式，结合在x轴和y轴上的截距分别为a和b，即可求出a，b的值，问题得以解决【解答】解：直线2xy40化为截距式为+1，a2，b4，ab2（4）6，故选：A【点评】本题考查直线的截距式，直线的一般式方程，考查计算能力，是基础题4（5分）若直线ykx+1与圆x2+y21相交于P、Q两点，且POQ90（其中O为原点），则k的值为（）AB1C或D1或1【分析】由题意，根据直线经过定点（0，1），可得P、Q中有一个点的坐标为（0，1

6、），故另一个点的坐标为（1，0）或（1，0），由此求得直线的斜率k的值【解答】解：直线ykx+1与圆x2+y21相交于P、Q两点，且POQ90（其中O为原点），直线经过定点（0，1），故P、Q中有一个点的坐标为（0，1），故另一个点的坐标为（1，0）或（1，0），故直线的斜率k1 或k1，故选：D【点评】本题主要考查直线经过定点问题、直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，属于基础题5（5分）将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（）A150B300C60D90【分析】根据题意，分2步进行分析：将5个小球分成3组，将分好的三组放入三个不同的盒子中，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进行分析：将5个小球分成3组，若分为1、2、2的三组，有15种分组方法，若分为1、1、3的3组，有C5310种分组方法，则有15+1025种分组方法，将分好的三组放入三个不同的盒子中，有A336种情况，则有256150种放法，故选：A【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题6（5分）的展开式中的常数项为（）

7、A32B34C36D38【分析】利用二项展开式的通项公式分别求出和的展开式中的常数项，从而可得结论【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1（x3）4r（2）rx124r，令124r0，可得r3，所以的展开式的常数项为（2）332，的展开式的通项公式为Tk+1x8kx82k，令82k0，可得k4，所以的展开式的常数项为70，所以的展开式中的常数项为32+7038故选：D【点评】本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式及特定项的求法，属于中档题7（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|（）A2B8C4D10【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x0，即可得出结论【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，则，D2，E4，F20，x2+y22x+4y200，令x0，可得y2+4y200，y22，|MN|4故选：C【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键8（5分）双曲线的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上O为坐标原点，则下列说法错误的是（）A该双曲线离心率

8、为B双曲线与双曲线C的渐近线相同C若POPF，则PFO的面积为D|PF|的最小值为【分析】先根据双曲线的方程，写出a，b，c的值，再判断选项A和B中涉及的双曲线几何性质；不妨取点P在渐近线yx上，利用点到直线的距离公式求出|PF|的长，可判断选项D；结合勾股定理和三角形的面积公式可判断选项C【解答】解：由题意知，a2，b，c，F（，0），离心率e，即选项A正确；双曲线C的渐近线方程为yx，而双曲线的渐近线方程为yx，即选项B错误；不妨取点P在渐近线yx上，POPF，|PF|，|PO|2，PFO的面积为S|PO|PF|，即选项C正确；当PF垂直渐近线时，|PF|最小，由上可知，|PF|min，即选项D正确故选：B【点评】本题考查双曲线的方程和几何性质，主要包含渐近线方程和离心率，还涉及点到直线的距离公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题9（5分）某省新高考方案规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有（）A24种B30种C48种D60种【分析】以甲，乙所选相同学科是否在物理、历史两科中分为两类，每类中由排列组合公式和基本原理可求【解答】解：分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有C21C42C2212种选法；第二类物理、历史两科中没相同学科，则有A22C41A3248种选法，所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有12+4860种，故选：D【点评】本题考查排列组合与基本原理的应用，属于基础题10（5分）已知椭圆C：+1（ab0），点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点，若MFNNMF+90，则椭圆C的

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