《通信》课件循环码
24页1、循环码n主要内容n什么是循环码?n循环码的一些性质n循环码的构造n循环码的编译码n循环码的应用什么是循环码?n线性分组码的一种,满足线性性。n循环性n循环码C中的任意码字循环移位k后的码字仍属于C,即若AC,则A(k)Cn例:(0000),(1111)是循环码码多项式n码字 的码多项式定义为循环性n码字 的循环左移1位为 其码多项式n循环左移k位为循环性n定理一、n证明:用归纳法nK=1时,n设k时成立,则显然k+1成立。证毕循环码的性质n定理二、(n,k)循环码中存在且仅有一个非零的最低次多项式,该多项式称为生成多项式g(x),其他所有许用码字均可以表示成c(x)=u(x)g(x)n证明:n假设(n,k)循环码中存在两个最低次多项式g1(x),g2(x),则根据循环码的线性性g(x)=g1(x)+g2(x)是(n,k)中的码多项式。但g(x)的次数小于g1(x),g2(x),与假设矛盾。n设 则根据循环性和线性性也是(n,k)循环码中的许用码组。(n,k)中的任意码字c(x)可写成nb(x)是次数小于r-1的多项式,na(x)是次数不大于n-r的多项式nb(x)=c(x)+a(x)g
2、(x),由于c(x),a(x)g(x)都是许用码组,因此b(x)也是许用码组,因此如果b(x)=0,则我们找到了一个比g(x)次数低的码字,这与假设g(x)是最低次数矛盾,因此b(x)=0。即循环码中的任意c(x),有c(x)=a(x)g(x)。定理二n告诉一个信息:即(n,k)循环码的构造就是要找到生成多项式g(x)。n推论:由于c(x)=a(x)g(x),且(n,k)循环码的c(x)个数为2k个,因此a(x)的最高次数为k-1,g(x)的次数为n-k。定理三(生成多项式的构造)n(n,k)循环码的生成多项式g(x)是(xn+1)的次数为n-k的因子。n证明:由定理二推论知g(x)的次数为n-k。设则n由定理二,b(x)=a(x)g(x)n因此,n即g(x)是xn+1的因子。循环码小节n循环码的重要参数生成多项式g(x)。n(n,k)循环码的g(x)幂次为nk,且g(x)是(n,k)中幂次最低的非0码多项式。n(n,k)循环码的任意码组可以通过g(x)得到,即c(x)=u(x)g(x)n(n,k)循环码的g(x)是xn+1的n-k次因子。循环码举例n设计一个(7,4)循环码。n分析:
3、n-k=3,n=7n已知n则可以选择ng(x)=x3+x+1或x3+x2+1(7,4)循环码n设g(x)=x3+x+1n所有许用码组c(x)=u(x)g(x)(多项式乘法),即(7,4)循环码(非系统码)(7,4)循环码(非系统码)00000000000000100010110010001011000110011101010001011000101010011101100111010011101100011000101100010011010011101010011101011100010111001110100110111111111110110001011111101001循环性验证n0000000,1111111n0001011,0010110,0101100,1011000,0110001,1100010,1000101n0011101,0111010,1110100,1101001,1010011,0100111,1001110(7,4)系统循环码n1、由非系统G行变换得(7,4)系统循环码n2、分析系统码的c(x)应具有如下形式:n则b(x)应该是 的余式(多项式除法)。(7,4)系统循环码(7,4)系统循环码(7,4)系统循环码00000000000000100010110010001011000110011101010001001110101010110001100110001011101110101000100010110011001110101010100111011101100011001100010110111010011110111010011111111111循环码编码与译码n编码器:n系统码编码器可以用移位寄存器实现除法。n非系统编码器可以用移位寄存器实现乘法。
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