2019年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷含参考答案

1、292019年全国高中数学联赛福建赛区预赛一、填空题(每小题6分，共60分)1.已知f(x)f(x)=x x2 2-2%,集合4.已知复数Z、Z、Z2(Z丹2)满足:z；=z；=-2-2-2事 i,Iz-Z I=Iz-z21=4.则 lzl=_.5.已知/(%)=%3+axax2 2 +bxbx +2+2的图像关于点(2,0)对称.则/(1)=_.6.如图1,在三棱锥P P-ABC 中，P4丄面ABC,ABC,/ABCABC=120,PA=4.若三棱锥P-ABCABC外接球的半径 为2Q,则直线PCPC 与平面ABCABC所成角的正切值为_2 27.已知椭圆 C1：+=l(a 6 0)与a a b b2 2双曲线C2 A-27=l(7n 0,n 0)有相同 m m n n的焦点F F,其中，几为左焦点点P为两 曲线在第一象限的交点，勺、e?分别为曲线 GGGG的离心率.若PF/?是以PFiPFi为底 边的等腰三角形，则e2-e,的取值范围是4=i)=0.则集合4中所有元素的和为_2.在磁中,4C=Q,4B=2,且打sin 4+c o s A _ 上 5冗Tc o s A A-sin A

2、 A】2贝 g BC=BC=_.3.函数/(x)=2x2x -x-x +x x的值域为8.已知I I为AABCAABC的内心，且5 M=4(B/4(B/+a).a).记7?、r分别为A ABC外接圆、内 切圆的半径.若r=15,则7?=_.9.已知集合：=1,2,3,4,5,I=XXQU.,I=XXQU.从集合/中任取两个不同的元素AB,AB,则4 C B中恰有三个元素的概率为_.10.已知/(%)=x 4 5 6 7-10 x3+axax2 2 +bxbx +c.c.若方程/(x)=0的根均为实数,m为这五个 实根中最大的根，则m m的最大值为_.二、解答题(每小题20分，共100分)11.已知数列%满足:9=&，2a”+ia”-7a”+i-3a”+12=0(心1)(1)记c”=a”-2,求数列c”啲通项公式；(2)记幻表示不超过实数的最大整2、兀、数，令6”=-yTa,求使得 久W2 019成4+1 左=1立的最大正整数n n的值.2 212.已知F为椭圆C：令+才:=1的右焦 点,P为直线x=4上的动点，过P作椭圆C C 的切线切点分别为A、B.证明:A A、F F、B B三点共

3、线；(2)求PAB面积的最小值.13.如图2,O2,O、H H分别为锐角 ABCABC的外 心、垂心,AD,AD丄BC于点Z),G为力H的中点.点K K在线段GH上,且满足GK=HD,联结KOKO 并延长，与交于点E.证明：(1)EKBC；(2)(2)GEGE 丄 GC.30A14.已知/(%)=ex.(1)若兀M0时,不等式(%-1)/(%)mxmx1 1 -1 恒成立，求尬的取值范围；(2)证明：当0时，/(%)41n%+8-81n 2.10015.设实数1,%2,，100满足工叭=1,且1叭+】-1培仏=1,2,-,99).证明:存 在整数石,，2,心(1 i2 (x2-2x)-2x)(x(x2 2-2%-2)=0 X=0 0 ,x,x2 2 =2=2 ,x,x3 3=1 一石,4=1+=A=0,2,1-屁 1+囘.故集合4中所有元素的和为4.2.Q.丄丿3 sin A A+c o s A A 5tt由-:=t a n 方J3J3 c o s A A 一 sin A A 12127T_/s叫力+石2c o s(A+扌5兀“a n迈6=t a n二 t a n5tt12-于是,Z4

4、+扌=浄加仏GZ).结合0 Z4=BC=BC=近.3.0,血+1.易知,/(%)=a/1-(X-1)2+X.+X.设-1=sin a(-今Wa W号).贝J/(%)=c o s a+(1+sin a)二Qsin(a+手+1.TC4,7T 7t由一产7t 7t 3兀=一Wa+W4 4 4n 一乎Wsin(a+于)Wl.因此，/(%)的值域为0,71+1.4.2再.先求复数-2-2A i的平方根.设(+yi)2=_2 2石 i(%、yGR)贝!(%2-y2)+2xy2xy i=-2-2 ix x2 2 -y y2 2=-2,2%y=-2 y/3y/3%!=1,/1=-点；02=由=z；=-2-2-2打 i,Z Hz?,知 Zi 二2 为 复数-2-2A i的两个平方根由对称性,不妨设x x2 2-1,2019年第7期31Z=1-爲 i,z2,z2=-1+石 i.于是，I Z _ Z2 I=I Z _ Z丨=I Z-22 I=4.从而，复数Z、Z1二2对应的点z z、ZZ、Z?构 成边长为4的正三角形.又复数可二2对应的点ZZ、ZiZi关于原点 0对称，从而,OZ为ZZZiZZZi的高.故l

5、zl=OZ=2j3.OZ=2j3.5.4.由f(%)的图像关于点(2,0)对称知+2)=(%+2)3+a(x+2尸+6(%+2)+2=x=x+(a+6)x2+(6+4a+12)+4a+26+10为奇函数.ra+6=0,则4a+26+10=0=(a,6)=(-6,7)=/(1)=1+a+a+2=4.=4.如图3,设0】为的外心，0 0为三棱锥P P-ABCABC外接球的球心.由刊丄面 001001丄面ABC,ABC,知 PA/OO.PA/OO.取PA的中点D图3由OP=OA=22,OP=OA=22,知四边形DA0.0DA0.0为 矩形.又 PAPA=4,则 O】O=4D=2,ZABC 外接 圆的半径r=0Ar=0A=2.ACAC 在AABCAABC中，由2r=-_，得sin Z_ An CAC=2AC=2 x 2sin 120=23.=23.PAPA故 t a n Z PCA=PCA=因此,所求值为攀.7.（扌,+8）.如图4,设双曲线的焦距为2c.则依题意有PF2=PF2=FF2=2c,I PFPF I=2a 2c=2m2m+2c,c c c61 二.由 IPFXPFX I=2a-2c

6、 IPF2PF21 二 2c,PF2+PF2+FF2=4c PF=2a-2c,PF=2a-2c,得 a a 2c,a 3c工曰1 1于是，亍e】.a-2ca-2c51 一2匂，从而,又勺=二设 1-2=I.I.则勺,*)故勺=导_由=在区间（0寺）上为减函数，得70）的值域为付，+8）.因此,e?-e,的取值范围是总，+8）.328.32.如图5,取BC的 中点D,依题意有5 1A1A+ZC)=-81D.-81D.-4-4 “图5m+%+%2+%3+%4=0,%+Y XiXj 一 11 Wi 疋4于是，S xixj=-10+m m2 2.1 Wi 亦 W16=mW4.又对/(%)=(%-4)(%+l)4=x5-10%3-20%2-15x-4,方程f(x)f(x)=Q Q的根均为实数，且五个实根中 最大的根m m=4.因此,m的最大值为4.二、11.(1)由条件知 a”=c”+2.代入条件递推式得2(c“+2)(c”+2)-7(c“+2)_3(c”+2)+12=0=/?=32.当AHBAHB确定后，如4 DP=3,4,5 时,可设 4=4U 3,4,5,B=B，U 3,4,5,AHBAH

7、B =0.0.贝的情况有：(0J1H,10,2,0,12H,1,2,共4种.C3 x 4 s因此，所求概率为乍厂=青.10.4.设/0)=0的五个实根为X W%2 V 光 3 W”4 W由韦达定理得“+i+c”=0n 2cn+1cn-3c n 丄-1c“+i 故+-1 是首项为丄-1 的等比数列.因此,一-1=3 n c cn nc cn n：“3、公比为31=3“+1+2(2)由(1)知a an n c cn n 4-2=-+2“3“+1L L n n n n I Ib*b*二-ran 二T 乔丄 1 -In+1 n 4-1 3 4-1/n n 2n2=-+-5+1)(3“+1)n+1=2(n 1)+-7 孔+1 5+1)(3+1)2019年第7期33a a(、2x3+J+2=2(n 1)H-.5+i)(3+i)当nRnR时，3“二(1+2)“二1+C；x 2+C：x 2?+则 Iab：+yy=l,知直线ABAB 过点 F(1,0).故A A、F F、B B三点共线.1+2n,5+l)(3+l)-(2x 3“+/+2)二 5-1)x 3-/+n-1(/1-1)(1+2n)-J+1=n

8、2-2 0.t t+yy=1,2 2x yx y 1+=二 ll4 3=(f2+12)/-6妙-27=0n A=36?+4 x 27(?+12)0,(2)由故心2 2时,0 2x3+25+l)(3+1)6”=2(n-1).又n n1 时=6+1+22 x 4洛，则=1.从而,n2,n2时,6t6t-27瓦=1+2(%-1)k=k=2=1 4-n(n l)=n2 一孔+1 由 J 一口+i w2 019(n 6 Z+)=W45因此，所求的值为45.t t+12又点P(4,t)到宜线ABAB的距离 d d=/9+12,12,故 Sa/mb=ABd=ABd1 x4(/i9)772?+122图6设 P(4,t),43 加),5(x2,y2).则切线PAPA、PBPB的方程分别为空1 y2y 1T T=T+T=由切线PAPA、PBPB过点P(4,t)得X1X1+3-1，兀2+3 二，_2(/+9)丿9+t2t2+12 设冷+9=A.由t E R,知心3,且3S/VMB=/(入)=入2+3 注意到，”,/、6A2(A2+3)-2A3(2A)f()=(A2+3)22A4+18A2 n=-7-0.(+

9、3)2于是，/(入)在区间3,+8)上为增函 o数，/(入)的最小值为/(3)=y,此时,t=0.艮卩衍+*1=1,%2+討2=】Q因此,P4B面积的最小值为亍.3413.(1)如图7,联结B0B0并延长，与0 交于点F.F.4由0 0为的外心，知BFBF为00的 直径.贝lj AFAF _LAB,FC_LAB,FC BC.BC.结合H H为厶ABCABC的垂心，得HC丄AB.AB.于是,AF/HC.,AF/HC.类似地,FC 個.故四边形AHCFAHCF为平行四边形，FC=AH.FC=AH.作0M丄BC于点M,则0M0M =、FC.FC.2又由G为的中点，GKGK =HD,HD,得KD=KHKD=KH +HD=KHHD=KH +GKGK=GHGH =AHAH =、FCFC =0M.0M.2 2结合KD/0M,KD/0M,四边形OMDKOMDK为矩形.因此,0KMD,即 EK/BC.EK/BC.(2)作GN丄4B于点N.由H为443(7的垂心知/NAGNAG=90-Z ABCABC=Z DCH.DCH.结合HDHD丄BCBC得HANGSCDHHANGSCDH二晋T T 告上 ngamd

10、hc.因为 GKGK =HD,AGHD,AG =GH,GH,所以，NGNG GHGHGKGK=HCHC 又Z NGK=180。-ZNG4=180180。-ZDHC-ZDHC =ZGHC,ZGHC,则NGKs fHC=Z KNGKNG=Z CGH.CGH.由(1),知GK丄也.故E E、K K、G G、N N四点共圆=Z CGHCGH =z KNGKNG =z GEKGEK=Z EGCEGC=Z EGKEGK+Z CGHCGH=Z Z EGKEGK 十 z z GEKGEK =9090。=GE 丄 GC.GC.14.(1)依题意，知当xOxO时，恒有(%-1)e*M mxmx2 2-1.设 k(x)k(x)=(x(x -1 1 )e ex x -mxmx2 2+1.则&，(%)=e*+(x(x-1)ex-2mx-2mx=%(ex _ 2m)2m).要使xOxO时,k(x)0,k(x)0恒成立，分情况 讨论.(i)若mW*,则当 0时，k(x)k(x)=x(ex(ex x-2m)0,知风对在区间0,+8)上为增函数.于是,%工0 时,k(x)k(0),k(x)k(0)=0.0.从而符合要求

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