2021-2022学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷 试题数：22，总分：150 1.（单选题，5分）数列{an}满足a1=1，an=an-1+2n（n≥2），则a3=（　　） A.3 B.5 C.11 D.13 2.（单选题，5分）若{ a ， b ， c }构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A. b + c ， b ， b - c B. a ， a + b ， a - b C. a + b ， a - b ， c D. a + b ， a + b + c ， c 3.（单选题，5分）倾斜角为45°的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=（　　） A. 43 B.4 C.6 D.8 4.（单选题，5分）如图，在四面体OABC中， OA = a ， OB = b ， OC = c ，点M在OA上，且 MA =2 OM ，N为BC中点，则 MN 等于（　　） A. 12 a - 13 b + 12c B.- 13 a +12 b + 12c C. 12 a +12 b - 12c D. 13 a + 13 b - 12c 5.（单选题，5分）与圆C1：（x+2）2+y2=1和圆C2：（x-2）2+y2=4都外切的动圆圆心的轨迹是（　　） A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 6.（单选题，5分）直线y= 23 x与双曲线 x2a2 −y28 =1（a＞0）相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积-9，则双曲线的离心率为（　　） A. 3 B. 62 C. 213 D. 7 7.（单选题，5分）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，则从今年起4年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为（　　）万吨（精确到0.1万吨）（参考数据：1.054≈1.2155，1.055≈1.2763） A.39.4 B.51.5 C.63.4 D.75 8.（单选题，5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若 AB •CD =0，则点A的横坐标为（　　） A.2或1 B.3 C.3或1 D.2 9.（多选题，5分）已知m∈R，曲线C：（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m），则（　　） A.当m=3时，C是x轴 B.当1＜m＜3时，C是椭圆 C.当m＜1时，C是双曲线，焦点在x轴上 D.当m＞3时，C是双曲线，焦点在y轴上 10.（多选题，5分）已知动点P与两定点A（0，0），B（3，0）的距离之比为 12 ，则（　　） A.点P的轨迹所围成的图形的面积是4π B.点P到点A的距离的最大值是2 C.点P到点B的距离的最大值是6 D.当P，A，B不共线时，△PAB的面积最大值是3 11.（多选题，5分）以下四个命题中，真命题的是（　　） A.若数列{an}是各项均为正的等比数列，则数列{lnan}是等差数列 B.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列{ Snn }是等差数列 C.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2018=0，则S2021=S2015 D.若等比数列{bn}的前n项积为Tn，且b2019=1，则T2021=T2016 12.（多选题，5分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=1，E，F，G分别为AA1，AB，AC的中点，则（　　） A.EF⊥BC1 B.VA1-GEF=VB-C1EF C.EF与C1G所成角的余弦值为 36 D.点G到平面AFC1的距离为 24 13.（填空题，5分）已知 a =（-3，2，5）， b =（1，5，-1），则3 a - b =___ ． 14.（填空题，5分）经过点B（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是 ___ ． 15.（填空题，5分）若数列{an}满足a1=6，an+1= an2，当an为偶数时3an+1，当an为奇数时 ，则a5=___ ，a2022=___ ． 16.（填空题，5分）如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），则p=___ ． 17.（问答题，10分）数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于8，第2项与第4项的和等于9，第1项与第5项的和等于4．求这个数列． 18.（问答题，12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，AD，DD1的中点． （1）求证：A1C⊥平面EFG； （2）求直线DB1与平面EFG所成角的余弦值． 19.（问答题，12分）已知圆C：x2+y2-2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0． （1）求证：直线l恒过定点； （2）设直线l交圆C于A，B两点，求弦长|AB|的最值及相应m的值． 20.（问答题，12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（n∈N）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=2n，令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn． 21.（问答题，12分）如图，已知边长为1的两个正方形ABCD，ABEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在正方形对角线AC和BF上运动，且满足AM=FN=x（0＜x＜ 2 ）． （1）求证：MN || 平面BCE； （2）当线段MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值． 22.（问答题，12分）设点已知点A（-2，0），B（2，0），直线MA，MB相交于点M，且它们的斜率之积为- 34 ，M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）若经过点N（1，0）的直线l与曲线C交于P，Q两点，判断以PQ为直径的圆与直线x=4的位置关系，并说明理由． 2021-2022学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 试题数：22，总分：150 1.（单选题，5分）数列{an}满足a1=1，an=an-1+2n（n≥2），则a3=（　　） A.3 B.5 C.11 D.13 【正确答案】：D 【解析】：利用数列的递推关系式，逐步求解数列的第三项即可． 【解答】：解：数列{an}满足a1=1，an=an-1+2n（n≥2）， 可得a2=a1+22=5， a3=a2+23=13． 故选：D． 【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题． 2.（单选题，5分）若{ a ， b ， c }构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A. b + c ， b ， b - c B. a ， a + b ， a - b C. a + b ， a - b ， c D. a + b ， a + b + c ， c 【正确答案】：C 【解析】：由平面向量基本定理判断． 【解答】：解：由平面向量基本定理得： 对于A选项， b = 12 （ b + c ）+ 12 （ b - c ），所以 b + c ， b ， b - c 三个向量共面； 对于B选项，同理： a ， a + b ， a - b 三个向量共面； 对于D选项， a+b+c = a+b+c ，所以三个向量共面； 故选：C． 【点评】：本题考查平面向量基本定理，属于基础题． 3.（单选题，5分）倾斜角为45°的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=（　　） A. 43 B.4 C.6 D.8 【正确答案】：D 【解析】：根据已知条件，先求出直线l的方程，联立直线l与抛物线方程可得，x2-6x+1=0，再结合抛物线的定义，以及韦达定理，即可求解． 【解答】：解：∵直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率为1， ∵抛物线y2=4x， ∴焦点F（1，0）， ∴直线l的方程为y=x-1， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线与抛物线方程 y2=4xy=x−1 ，化简整理可得，x2-6x+1=0， 由韦达定理可得，x1+x2=6， 故|AB|=x1+x2+p=6+2=8． 故选：D． 【点评】：本题主要考查抛物线的定义，考查计算能力，属于基础题． 4.（单选题，5分）如图，在四面体OABC中， OA = a ， OB = b ， OC = c ，点M在OA上，且 MA =2 OM ，N为BC中点，则 MN 等于（　　） A. 12 a - 13 b + 12c B.- 13 a +12 b + 12c C. 12 a +12 b - 12c D. 13 a + 13 b - 12c 【正确答案】：B 【解析】：由已知可得则 MA=23OA ， BN=12BC ，然后再利用三角形法则化简即可求解． 【解答】：解：因为点M在OA上，且 MA =2 OM ，N为BC中点， 则 MA=23OA ， BN=12BC ， 所以 MN=MA+AB+BN = 23OA+OB−OA+12BC = −13OA+OB+12OC−OB = −13OA+12OB+12OC = −13a+12b+12c ， 故选：B． 【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题． 5.（单选题，5分）与圆C1：（x+2）2+y2=1和圆C2：（x-2）2+y2=4都外切的动圆圆心的轨迹是（　　） A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 【正确答案】：A 【解析】：根据题意，设动圆的圆心为M，其半径为r，由圆与圆的位置关系可得|MC1|=r+1，|MC2|=r+2，进而可得|MC2|-|MC1|=1，结合双曲线的定义分析可得答案． 【解答】：解：根据题意，设动圆的圆心为M，其半径为r， 圆C1：（x+2）2+y2=1的圆心为（-2，0），半径为1， 圆C2：（x-2）2+y2=4，其圆心为（2，0），半径为2， 若动圆M与圆C1和圆C1都外切，则有|MC1|=r+1，|MC2|=r+2， 则有|MC2|-|MC1|=1，（1＜|C1C2|）， 故动圆圆心的轨迹是双曲线的一支， 故选：A． 【点评】：本题考查曲线的轨迹，涉及双曲线的定义，属于基础题． 6.（单选题，5分）直线y= 23 x与双曲线 x2a2 −y28 =1（a＞0）相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积-9，则双曲线的离心率为（　　） A. 3 B. 62 C. 213 D. 7 【正确答案】：C 【解析】：联立直线与双曲线方程，利用韦达定理求解a，推出c，即可得到双曲线的离心率． 【解答】：解：双曲线 x2a2 −y28 =1（a＞0）的虚轴长为4 2 ， 联立直线y= 23 x与双曲线方程，消去y可得： 18−a218a2 •x2=1， 直线y= 23 x与双曲线交于A，B两点，A，B两点的横坐标之积为-9， 所以： 18−a218a2 ×9=1，解得a= 6 ，所以c= a2+b2 = 14 ， 可得e= ca = 146 = 213 ． 故选：C． 【点评】：本题考查双曲线的