山西省吕梁市华杰中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

山西省吕梁市华杰中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若的内角A、B、C满足，则=（   ） A．    B．     C．     D． 参考答案： D 因为，所以，不妨设，所以由余弦定理得：。 2. 函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是(　)     （A）. f (1)25   （B）.f(1)＝25   （C）f (1)25   （D）.f(1)＞25 参考答案： A 略 3. 已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+3上任一点，则|MN|的最小值是（　　） A． B． C．1 D． 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【分析】画出约束条件的可行域，利用已知条件，转化求解距离的最小值即可． 【解答】解：点M的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图， N为直线y=﹣2x+3上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y=﹣2x+3与2x+y﹣4=0之间的距离：d==． 故选：A 【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力． 4. 给定空间中的直线及平面，则“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（     ） A．充要条件                         B．充分非必要条件   C．必要非充分条件                   D．既非充分又非必要条件 参考答案： C 略 5. 已知O为△ABC内一点，且，，若B,O,D三点共线，则t的值为（  ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B 6. 设集合那么“”是“”的（    ）     A．充分而不必要条件                 B．必要而不充分条件     C．充要条件                         D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 7. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积是（　　） A．2π B．4π C．8π D．10π 参考答案： C 【考点】球的体积和表面积． 【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积． 【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°， ∴×2×1×sin60°×AA1=，∴AA1=2 ∵BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=． 设△ABC外接圆的半径为R，则=2R，∴R=1． ∴外接球的半径为，∴球的表面积等于4π×（）2=8π． 故选：C． 8. （1﹣2x）10的展开式中，各项系数的和是（　　） A．1 B．210 C．﹣1 D．1或﹣1 参考答案： A 【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理． 【分析】给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和． 【解答】解：令二项式（1﹣2x）10中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为1． ∴展开式中各项的系数的和为1． 故选：A． 【点评】求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得． 9. 若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2 参考答案： A 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 由图可知，最优解为A， 联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1） ∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7． 故选：A． 10. 在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，同时从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差绝对值为2或4的概率是（ ）  A.       B.       C.       D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知双曲线，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B，F分别是双曲线的左顶点和左焦点．若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为　　． 参考答案： 略 12. 求值：=        ． 参考答案： 13. 命题“，使得”的否定是    ▲    ． 参考答案： ，使得 考点：命题否定    14. 定义在上的函数满足，则等于            .                    参考答案： -3 15. 在△ABC中，若，，，则_____；_____． 参考答案：         略 16. 已知函数，.设是函数图象的一条对称轴，则的值等于       ． 参考答案： 17. 给定方程：，下列命题中： ①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解； ④若是该方程的实数解，则–1.则正确命题是           ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）   已知数列｛｝的各项均为正数，Sn是数列｛｝的前：项和，且4Sn＝2＋2－3．     （I）求数列｛｝的通项公式：     （II）已知，求＝的值· 参考答案： 19. 已知 实数满足, 其中; 实数满足. (1) 若 且为真, 求实数的取值范围; (2) 若是的必要不充分条件, 求实数的取值范围.   参考答案： (1) (2) 解析：（1）对：由得， 因为, 所以            ..……...……..2分 当时，解得1<,即为真时，实数的取值范围是1<. 又为真时实数的取值范围是…………………..4分 若为真，则真且真， 所以实数的取值范围是.      …………………..7分 (2) p是q的必要不充分条件，即qp,且pq，            设A=, B =, 则AB,    …………………..10分 又，A=； 所以有解得                    所以实数的取值范围是.     …………………..13分   略 20. （13分）（2015?河南二模）设a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R． （1）求f（x）的单调区间及极值； （2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞x2﹣2ax+1． 参考答案： 考点： 利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （1）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值． （2）设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明ex＞x2﹣2ax+1． 解答： （1）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R， ∴f′（x）=ex﹣2，x∈R． 令f′（x）=0，得x=ln2． 于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： x （﹣∞，ln2） ln2 （ln2，+∞） f′（x） ﹣ 0 + f（x） 单调递减 2（1﹣ln2+a） 单调递增 故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2）， 单调递增区间是（ln2，+∞）， f（x）在x=ln2处取得极小值， 极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值． （2）证明：设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R， 于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R． 由（1）知当a＞ln2﹣1时， g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0． 于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增． 于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）． 而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0． 即ex﹣x2+2ax﹣1＞0， 故ex＞x2﹣2ax+1． 点评： 本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答． 21. 已知函数． （I）若曲线过点P(1,－1)，求曲线在点P处的切线方程； （Ⅱ）若对恒成立,求实数m的取值范围; （III）求函数在区间[1，e]上的最大值. 参考答案： 解：（1）过点 ，    过点的切线方程为 （2）恒成立，即恒成立， 又定义域为，恒成立 设 当x=e时， 当时，为单调增函数 当时，为单调减函数 …………6分 当时，恒成立…………7分 （3） ①当时，  在为单增函数 在上，…………8分 ②当时，即时 时，，为单增函数 时，，为单减函数 上…………9分 ③当时，在为单减函数 上，…………10分 略 22. （本小题满分12分）已知数列是等差数列，   （1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；   （2）如果，试写出数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 参考答案： （1）设的公差为，则 数列是以为公差的等差数列…………3    （2）    两式相减：…………6分 …………8分 …………8    （3）因为当且仅当时最大…………12分 即 …………12