河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题

1、试卷类型：A 唐山市 2019 届高三第一次模拟考试 数学文试题 2019.3 注意事项： 1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效。 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 （1） 已知集合 Ax| x2x60 ，Bx| x1，则 AB A、(1，2 B、(1，3 C、(1，2 3， ) D、R （2） 设复数z 满足 (1i)z2i（其中i 为虚数单位），则| z| A 2 2 B、2C、2 D、4 （3） 若双曲线x2y23 的两条渐近线斜率分别为k1， k2，则k1k2 A、1 B、3C、3 D、 9 （4）若 x， y 满足约束条件 330 10 10 xy xy xy 则 z2xy 的最大值为 A、1 B、2 C、7 D、8 （5）某三棱锥的三视图如图所示，

2、则该三棱锥的体积为 A、8 B、4C 8 3 D 4 3 （6） 已知命题p：f (x)x3ax 的图像关于原点对称；命题q：g (x)xcos x 的图像关于y 轴 对称则下列命题为真命题的是 A、p B、qC、pq D、p(q) （7）算法统宗中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内 方五尺外方七尺有奇实际上，这是一种开平方的近似计算，即用7 近似表示 52，当内方 的边长为 5 时， 外方的边长为52， 略大于 7如图所示，在外方内随机取一点，则此点取 自内方的概率为 A 1 2 B 2 2 C 5 7 D 25 49 （8） 为计算 T ，设计了右侧的程序 框图，则在空白框中应填入 A、WWi B、WW (i1) C、WW (i2) D、WW (i3) （9） 在ABC 中， 角 A， B，C 的对边分别为a，b，c，a2，b3，c4，设 AB 边上 的高为h，则 h A 15 2 B 11 2 C 3 15 4 D 3 15 8 （10） 已知直四棱柱ABCD- A1B1C1D1的所有棱长相等，ABC60 ， 则直线BC1与平面 ABB1A1所成角的余

3、弦值等于 A 6 4 B 10 4 C 2 2 D 3 2 （11）如图，直线2x2y30 经过函数f (x)sin(x )（0，| | ） 图象的最高 点 M 和最低点N，则 A、 2 ， 4 B、 ， 0 C、 2 ， 4 D、 ， 2 （12）设函数f (x)ae x2sin x，x 0， 有且仅有一个零点，则实数 a 的值为 A、 4 2eB、 4 2eC、 2 2eD、 2 2e 二、 填空题 ： 本题共4 小题， 每小题5 分， 共 20 分 （13） 已知向量a(1， 3)， b(m， 6)，若 a b，则m_ （14） 若函数f (x) 1 10,1 lg ,1 x x x x ， 则 f (f (10)_ （15）已知圆锥的顶点和底面圆周都在半径为2 的球面上，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的 侧面积为 _ （16） 已知抛物线C：y28x 的焦点为 F，经过点M(2，0)的直线交C 于 A， B 两点， 若 OABF（O 为坐标原点），则| AB| _ 三、 解答题 ： 共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考 题，每个 试题考生都

4、必须作答第(22)， (23)题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分 （17）（12 分） 已知数列 an满足：a11，an12ann1，记 bnann， （1）求 b1， b2， b3； （2）判断 bn 是否为等比数列，并说明理由； （3）求 an 的前 n 项和 Sn （18）（12 分） 如图，ABC 中， ABBC4， ABC90 ， E， F 分别为AB， AC 边的中点，以EF 为折痕把 AEF 折起，使点A 到达点P 的位置，且PBBE. （1） 证明： BC平面PBE； （2） 求点 F 到平面PEC 的距离 （19）（12 分） 设椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左，右焦点分别为F1， F2，其离心率为 2 2 ，过 F2的直 线 l 与 C 交于A，B 两点，且 AF1B 的周长为42 （1）求椭圆C 的方程； （2） 设椭圆C 的上顶点为P，证明：当l 的斜率为 1 3 时，点P 在以 AB 为直径的圆上 （20）（12 分） 为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖 北，从西部选择宁夏

5、，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域， 直到基层的普查小区在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记由 于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，如有些对象对普查有误解，配合不够主动；参与普 查工作的技术人员对全新的操作平台运用还不够熟练等，这为正式普查提供了宝贵的试点经 验 在某普查小区，共有50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示： 普查对象类别顺利不顺利合计 企事业单位4050 个体经营户50150 合计 （1） 写出选择5 个国家综合试点地区采用的抽样方法； （2） 补全上述列联表（在答题卡填写），并根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查 小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”； （3） 根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提 出一条建议 附： （21）（12 分） 已知函数f (x)ax ln x x a， aR （1） 若 x1 是 f (x)的极值点，求 a 并讨论f (x)的单调性； （2） 若 1xe 时， f (x)0，求a 的取值范围 （二）选考题：共10

6、 分 请考生在第 ( 22)， (23)题中任选一题作答， 如果多做 ， 则按所做 的第一题记分 （22） 选修 4- 4：坐标系与参数方程 （10 分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 1cos sin xt yt （其中 t 为参数， 0 ） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 sin 2 4cos （1）求 l 和 C 的直角坐标方程； （2）若 l 与 C 相交于A，B 两点，且 | AB| 8，求 （23） 选修 4- 5：不等式选讲 （10 分） 已知 a，b 是正实数，且ab2， 证明： （1）ab2； （2）(ab3)(a3b)4 唐山市20182019 学年度高三年级第一次模拟考试 文科数学参考答案 一 选择题： A 卷： BBACD DACDB AB B 卷：BCABD DACDC AB 二 填空题： （13） 2 （14） 1 （15） 2 3 （16） 17 三 解答题： （17） 解： （1） 因为 a11， 所以 a22a102， a32a2215， 从而 b12， b2a224， b3a338， 3

7、分 （2） bn 是等比数列 因为 an+12ann1， 所以 an1n12(ann)， 所以 an+1(n1) ann 2， 即 bbn+1 n 2， 所以 bn 是等比数列，且首项b12，公比为2 8 分 （3） 由（2） 知 bn2n， 故 anbnn2nn 所以 Sn(212223 2n)(123 n) 2n12n2n 2 12 分 （18） 解： （1） 因为 E， F 分别为AB， AC 边的中点， 所以 EFBC， 因为 ABC90 ， 所以 EFBE， EFPE， 又因为BE PEE， 所以 EF平面PBE， 所以 BC平面PBE 5 分 （2） 取 BE 的中点O， 连接 PO， 由（ 1） 知 BC平面PBE， BC 平面 BCFE， 所以平面PBE平面BCFE， 因为 PBBEPE， 所以 POBE， 又因为PO平面 PBE，平面PBE平面 BCFEBE， 所以 PO平面BCFE， 7 分 在 RtPOC 中： PC PO2OC22 5， 在 RtEBC 中：EC EB2BC22 5， 在 PEC 中，PCEC2 5， PE2， 所以 SPEC 19， 又 SEC

8、F2，设点F 到平面PEC 的距离为d， 由 VFPECVPECF得 SPEC dSECF PO， 19 d2 3， 所以 d2 57 19 ， 即点 F 到平面PEC 的距离为 2 57 19 . 12 分 （19） 解： （1） AF1B 的周长等于 | AF1| | AB| | BF1| | AF1| | AF2| | BF2| | BF1| 4a， 所以 4a4 2，从而a 2 3 分 因为 e c a 2 2 ，所以c1，即b2a2c21， 椭圆 C 的方程为 x2 2y21 5 分 （2）由（ 1）得 P(0， 1)， F2(1， 0) 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 依题意，l 的方程为x3y1， 将 l 的方程代入C 并整理，可得11y26y10， 所以 y1y2 11 6 ， y1y211 1 8 分 PA PB x1x2(y11)(y21) (3y11)(3y21)(y11)(y21) 10y1y22(y1y2)2 0 所以 PAPB， 综上，点 P 在以 AB 为直径的圆上 . 12 分 （20） 解： （1） 分层抽样2 分 （2） 完成列联表

9、普查对象类别顺利不顺利合计 企事业单位40 10 50 个体经营户100 50 150 合计140 60 200 5 分 将列联表中的数据代入公式计算得 K2 n(adbc)2 (ab)(cd)(ac)(bd) 200(40 50100 10)2 140 60 50 150 200 63 3.1752.706， 所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关” 10 分 （3）（意思相近即可得分） 建议：加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作. 12 分 P F A B C E O （ 21） 解： （ 1） f (x)a1ln x x2 ax2ln x1 x2 ， x0 因为 x1 是 f (x)的极值点， 所以 f (1)0，可得a1 2 分 所以 f (x)xln x x 1， f (x) x2ln x1 x2 因为 yx2ln x1 在(0， )上单调递增，且x1 时， y0， 所以 0 x1 时，x2ln x10， f (x)0， f (x)单调递减； x1 时，x2ln x10， f (x)0， f (x)单调递增 故 f (x)在(0， 1)上单调递减，在 (1， )上单调递增6 分 （ 2） 由 f (x)0 得 a(x1)ln x x 0， 因为 1xe，所以a ln x x(x1) 设 g (x) ln x x(x1)， 则 g (x)x1(2x1)ln x x2(x1)2 8 分 令 h (x)x1(2x1)ln x， 则 h (x)1(2x1) 1 x 2ln x 1 x 2ln x1， 显然 h (x)在(0， )内单调递减，且h (1)0， 所以 1xe 时，h (x)0， h (x)单调递减，则 h (x)h (1)0，即 g (x)0， 所以 g (x)在(1， e)内单减，从而 g (x)g (e) 1 e(e1) 所以 a 1 e(e1) 12 分 （ 22）解： （ 1）当 2 时，l： x1； 当 2 时，l： ytan (x1) 由 sin2 4cos得，2sin2 4 cos ， 因为 x cos

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