湖北省咸宁市嘉鱼县新街中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析

湖北省咸宁市嘉鱼县新街中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量与的夹角是，且||=1，||=4，则在上的投影为（　　） A．﹣ B． C．﹣2 D．2 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】先计算，代入投影公式计算即可． 【解答】解： =1×4×cos=﹣2， ∴在上的投影为||cos＜＞==﹣． 故选A． 2. 已知随机变量x，y的值如下表所示，如果x与y线性相关，且回归直线方程为，则实数b的值为（   ） x 2 3 4 y 5 4 6 A．             B．             C．             D． 参考答案： D 根据所给数据，得到，， ∴这组数据的样本中心点是（3,5）， ∵线性回归直线一定过样本中心点， ，解得.   3. 若{an}为等差数列，它前n项和记为Sn，若，则等于（      ） A、60 B、45 C、36 D、18 参考答案： B 4. 下列函数中，在区间（0，+∞）上递增的奇函数是（　　） A．y=2x B．y=lgx C．y=x2 D．y=x3 参考答案： D 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】可知奇函数的图象关于原点对称，而根据指数函数、对数函数，以及二次函数的形状便知前三项的函数都不是奇函数，而D显然满足条件． 【解答】解：y=2x，y=lgx和y=x2的图象都不关于原点对称，∴这三个函数都不是奇函数； y=x3在（0，+∞）上递增，且为奇函数，即该函数符合条件． 故选：D． 【点评】考查指数函数、对数函数，以及二次函数的奇偶性，奇函数图象的特点，清楚y=x3的图象． 5. 已知中，，，则角等于(  ) A．         B．          C．         D． 参考答案： D 略 6. 在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是(     ) A．=（0，0），=（1，2） B．=（﹣1，2），=（5，﹣2） C．=（3，5），=（6，10） D．=（2，﹣3），=（﹣2，3） 参考答案： B 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【专题】平面向量及应用． 【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可． 【解答】解：根据， 选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能； 选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能． 选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能． 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能． 故选：B． 【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题． 7. 下列四组函数中，表示同一函数的是（  ） A．与      B．与 C．与     D． 参考答案： D 略 8. 设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中假命题的序号是(　　) A．①            B．②③ C．①②③        D．③④ 参考答案： C 9. 已知，，c=，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b 参考答案： C 【考点】对数值大小的比较． 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解． 【解答】解：∵，，c==， ， y=5x是增函数， ∴a＞c＞b． 故选：C． 10. 已知函数是上的偶函数，且，当时，，则（ ） A．－1         B．－9         C．5         D．11 参考答案： B 上的偶函数， ， ，故选B.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为________，的最大值为             ． 参考答案： 1,1 12. 已知函数为幂函数，则__________． 参考答案： 16 【分析】 根据幂函数的定义求出m的值，写出的解析式，即可计算的值． 【详解】由题意，函数为幂函数，，解得， ，， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了幂函数的定义，及幂函数的求值问题，其中解答中熟记幂函数的定义，用定义求得幂函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 13. 已知，则________. 参考答案： 略 14. 已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于        ． 参考答案： 84π 【考点】球的体积和表面积． 【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积． 【解答】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：2；所以外接球的半径为： =． 所以外接球的表面积为： =84π． 故答案为：84π 15. 函数的定义域为 参考答案： ﹛x|x+k, kZ﹜ 略 16. 函数的最小正周期是　　． 参考答案： 【考点】三角函数的周期性及其求法． 【分析】利用y=Atan（ωx+φ）的周期等于 T=，得出结论． 【解答】解：函数的最小正周期是=， 故答案为：． 17. 下列四个命题: （1）两个单位向量一定相等      （2）若与不共线，则与都是非零向量 （3）零向量没有方向            （4）两个相等的向量起点、终点一定都相同 正确的有：          （填序号） 参考答案： (2) 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（3，4），B（5，12）. （1）求的坐标及；  （2）求；  （3）求在上投影. 参考答案： 解：（1）∵O（0，0），A（3，4），B（5，12）， ∴，， ∴，即的坐标为（2，8）；           .                                  （2）∵，， ∴                            （3），                .                           ∴在上投影为                  略 19. 已知等差数列{an}满足a3=3，前6项和为21． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和． 【分析】（1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式． （2）由bn=3=3n，能求出数列{bn}的前n项和． 【解答】解：（1）∵等差数列{an}满足a3=3，前6项和为21， ∴， 解得a1=1，d=1， ∴an=1+（n﹣1）×1=n． （2）bn=3=3n， ∴数列{bn}的前n项和： Tn=3+32+33+…+3n ==． 20. （本题满分12分）集合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝． （Ⅰ）若A＝Ｂ，求a的值； （Ⅱ）若A∩B，A∩C＝，求a的值． 参考答案： 解： 由已知，得B＝｛2，3｝，C＝｛2，－4｝………………………2分 (Ⅰ)∵A＝B于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根， 由韦达定理知：   解之得a＝5. ……………………… 4分 (Ⅱ)由A∩B ∩，又A∩C＝， 得3∈A，2A，－4A， 由3∈A，                  ………………………1分 得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a=－2……………………… 1分 当a=5时，A＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝＝｛2，3｝，与2A矛盾；……………………… 2分 当a=－2时，A＝｛x｜x2＋2x－15＝0｝＝｛3，－5｝，符合题意. ………………………2分 ∴a＝－2. ………………………1分 21. 设，，.     ①=，求a的值；     ②，且=，求a的值；     ③=，求a的值； 参考答案： 解：①此时当且仅当，---（2分） 有韦达定理可得和同时成立，即；---（2分） ②由于，---（1分），---（1分） 故只可能3。---（1分） 此时，也即或，由①可得。---（1分） ③此时只可能2，---（2分） 有，也即或，---（1分）由①可得。---（1分） 略 22. （12分）设函数，且，． （1）求的值； （2）当时，求的最大值． 参考答案： （1）由已知，得 解得    ……………………6分 （2）∵，令，则 令，则∵∴，当时，即时，有最大值12，此时有最大值为………………………………12分