黑龙江省伊春市宜春芦村中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析

黑龙江省伊春市宜春芦村中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，则甲、乙被安排到不同景区的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，利用列举法求出基本事件总数和甲、乙被安排到同一景区包含的基本事件个数，由此利用对立事件概率加法公式能求出甲、乙被安排到不同景区的概率． 【解答】解：大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生， 基本事件总数有（甲乙，丙），（甲丙，乙），（乙丙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，乙丙）， 共6个基本事件， 其中，甲、乙被安排到同一景区包含的基本事件有（甲乙，丙），（丙，甲乙），包含两个基本事件， ∴甲、乙被安排到不同景区的概率： p=1﹣=． 故选：D． 2. 已知集合,，则中所含元素的个数为    A．6              B．8                  C．10              D．12      参考答案： D 3. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 4. 已知集合，集合，则               （    ）     A．           B．           C．         D． 参考答案： B 5. 若，则，则的值为（    ） A.             B.           C.            D. 参考答案： D 6. 已知集合，集合.若，则实数m的取值集合为（    ） A. {1} B. C. {1,－1} D. 参考答案： C 【分析】 将选项中的元素逐一验证，排除错误选项，由此得出正确选项. 【详解】若，则，符合，排除B,D两个选项.若，则，符合，排除A选项.故本小题选C. 【点睛】本小题主要考查子集的概念，考查选择题的解法——排除法，属于基础题. 7. 若是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有和的值是（  ） A、2010           B、2011              C、2012       D、2013  参考答案： C 略 8. 一个几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（     ） A．        B．       C.         D． 参考答案： D 9. 已知直线，平面，且，给出四个命题：   ①若∥，则；   ②若，则∥； ③若，则l∥m；    ④若l∥m，则． 其中真命题的个数是 A．4                 B．3                C．2 D．1 参考答案： C 略 10. 已知函数在区间上是减函数，则范围是 (  ) A.      B.       C.     D. 参考答案： A 试题分析：因为是开口向上，对称轴为的抛物线，所以函数的单调递减区间为，又因为函数在区间上是减函数，所以，即，故答案为． 考点：二次函数的单调性． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为____________。 参考答案： 略 12. 已知圆C的圆心为（0,1），直线与圆C相交于A，B两点，且，则圆C的半径为 . 参考答案： 圆心到直线的距离。∴。 ∴所求圆的半径为. 13. 设实数x,y满足 ，则的取值范围是　　　　　 参考答案： 由于表示可行域内的点与原点的连线的斜率，如图2，求出可行域的顶点坐标，，则，可见，令，则在上单调递增，所以． 14. 定积分=           参考答案： =，其中等于的面积S=，=2=4 【考点】定积分的几何意义 15. （4分）（2015?上海模拟）记数列an是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列bn满足2bn=（n+1）an，若对任意n∈N*都有bn≥b5成立，则实数a的取值范围为　　． 参考答案： [﹣22，﹣18] 【考点】： 数列递推式；等差数列的通项公式． 【专题】： 计算题． 【分析】： 根据题意数列{an}是等差数列可得其通项公式为an=2n+（a﹣2），进而得到bn=+﹣1，结合二次函数的性质解决问题即可． 解：由题意可得：数列{an}是首项a1=a，公差为2的等差数列 所以an=a+2（n﹣1）=2n+（a﹣2）． 所以bn=+﹣1，即bn是关于n的一元二次函数． 由二次函数的性质可得：， 解得：﹣22≤a≤﹣18． 故答案为：[﹣22，﹣18]． 【点评】： 解决此类问题的关键是熟悉等差数列的通项公式以及二次函数的性质，并且进行正确的运算也是关键． 16. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前4项和            ． 参考答案： 17. 已知函数f（x）=x2cos，数列{an}中，an=f（n）+f（n+1）（n∈N*），则数列{an}的前100项之和S100=　　． 参考答案： 10200 【考点】8E：数列的求和． 【分析】f（x）=x2cos，可得an=f（n）+f（n+1）=+，分别求出a4n﹣3，a4n﹣2，a4n﹣1，a4n，再利用“分组求和”方法即可得出． 【解答】解：∵f（x）=x2cos， ∴an=f（n）+f（n+1）=+， a4n﹣3=+（4n﹣2）2=﹣（4n﹣2）2， 同理可得：a4n﹣2=﹣（4n﹣2）2，a4n﹣1=（4n）2，a4n=（4n）2． ∴a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n=﹣2（4n﹣2）2+2（4n）2=8（4n﹣1）． ∴数列{an}的前100项之和S100=8×（3+7+…+99）=10200． 故答案为：10200． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1． （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4， ?=12，求c． 参考答案： 【考点】解三角形；两角和与差的余弦函数． 【分析】（1）使用和角公式展开再利用二倍角公式与和角的正弦公式化简f（x），利用正弦函数的单调性列出不等式解出； （2）根据f（C）=求出C，根据， ?=12解出a，使用余弦定理解出c． 【解答】解：（1）f（x）=sinx（cosx﹣sinx）+1=sin2x﹣+1=sin（2x+）+． 令≤2x+≤，解得≤x≤． ∴函数f（x）的单调递减区间是[，]，k∈Z． （2）∵f（C）=sin（2C+）+=，∴sin（2C+）=1，∴C=． ∵?=abcosA=2a=12，∴a=2． 由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=12+16﹣24=4． ∴c=2． 19. （12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD． （1）求证：PB=PD； （2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小． 参考答案： 【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连结PO，则AC⊥BD，结合PA⊥BD得出BD⊥平面PAC，故而BD⊥PO，又O为BD的中点，得出OP为BD的中垂线，得出结论； （2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，证明四边形AQEF是平行四边形，于是AQ⊥平面PCD，通过证明CD⊥平面PAD得出CD⊥PA，结合PA⊥BD得出PA⊥平面ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值等于|cos＜＞|，从而得出线面角的大小． 【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，连结PO． ∵底面ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OB=OD． 又PA⊥BD，PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A， ∴BD⊥平面PAC，∵PO?平面PAC， ∴BD⊥PO． 又OB=OD， ∴PB=PD． （2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ， 则EQ∥CD，EQ=CD，又AF∥CD，AF==， ∴EQ∥AF，EQ=AF， ∴四边形AQEF为平行四边形，∴EF∥AQ， ∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD， ∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中点， ∴AP=AD= ． ∵AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥CD， 又AD⊥CD，AQ∩AD=A， ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA． 又BD⊥PA，BD∩CD=D， ∴PA⊥平面ABCD． 以A为坐标原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（，0，0），P（0，0，），A（0，0，0），Q（0，，）． ∴=（0，，），=（，0，﹣）． ∵AQ⊥平面PCD，∴为平面PCD的一个法向量． ∴cos＜＞==﹣． 设直线PB与平面PCD所成角为θ， 则sinθ=|cos＜＞|=． ∴直线PB与平面PCD所成角为． 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题． 　 20. 随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）   经常使用 偶尔或不用 合计 30岁及以下 70 30 100 30岁以上 60 40 100 合计 130 70 200 （1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关？ （2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率． 参考公式： ，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 参考答案： （1）由列联表可知： ， 因为， 所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关．（6分） （2）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）． 设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为， ， ；偶尔或不用共享单车的2人分别为， ． 则从5人中选出2人的所有可能结果为， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10种， 其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为共1种， 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．（12分） 21. 已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 （1）写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？   参考答案： （注：年利润=年销售收入-年总成本） 略 22.       已知数列的前项和是，且      （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，令…，求. 参考答案： 略