2022年浙江省温州市花坦中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年浙江省温州市花坦中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量=（2，2），=（4，1），点P在x轴上，则?取最小值时P点坐标是(     ) A．（﹣3，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0） 参考答案： D 考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用． 分析：设出P的坐标，利用向量的数量积推出关系式，然后求解最小值，得到P点坐标． 解答： 解：设P（a，0），向量=（2，2），=（4，1）， 则?=（a﹣2，﹣2）?（a﹣4，﹣1）=a2﹣6a+10=（a﹣3）2+1≤1，当a=3时，取得最小值． 所求P（3，0）． 故选：D． 点评：本题考查平面向量数量积的应用，二次函数的最值的求法，考查计算能力． 2. 函数在点处的切线斜率为，则的最小值是（  ） A.  10     B.     9     C.    8     D.    参考答案： B 3. 函数的定义域是 （   ） A．[1，2] B． C． D． 参考答案： C 4. 已知函数，，，曲线上总存在两点，，，，使曲线在M，N两点处的切线互相平行，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 参考答案： B 解：函数，导数． 由题意可得，，且． 即有， 化为， 而， ， 化为对，都成立， 令，，， ，对，恒成立， 即在，递增， （4）， ， ，即的取值范围是，． 故选：． 5. 已知函数，，要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（   ） A.横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得到 B.横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得到 C.横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得到 D.横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得到 参考答案： B 因为由图象上所有点横坐标缩短为原来的得到函数的图象，所以再将函数的图象向左平移个单位后，就得到的图象的图象. 试题立意：本小题考查三角函数图象及其性质，图象变换等基础知识；考查推理论证能力，化归转化思想. 6. 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排的8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不便，则不同调整方法的种数为： A．        B．        C．           D． 参考答案： C 【解析】从后排的8人中抽2人有种方法，把抽出的2人插入前排，其他人的相对顺序不便有种方法，故共有种不同调整方法，选C。 7. 函数的值域为（    ） A．        B．        C．        D． 参考答案： B 8. （2009安徽卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是 （A）p:＞b+d ,   q:＞b且c＞d （B）p:a＞1,b>1         q:的图像不过第二象限 （C）p: x=1, q:  （D）p:a＞1,              q: 在上为增函数 参考答案： A 解析：由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d  ＞b且c＞d，可举反例。选A. 9. 对于向量,, “”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： B 【分析】 根据向量的运算法则：“”不能推出“”， “”能够推出“”. 【详解】当时，满足，不能推出， 若，则，所以， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的关系判断，关键在于弄清向量间的关系，正确辨析即可. 10. 已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩B=(     ) A．{2} B．{1，2} C．{﹣1，2} D．{﹣1，1，2} 参考答案： B 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；规律型． 【分析】集合A中元素个数较少，是有限集合，B是无限集合，可以利用交集的定义逐一确定A∩B中元素，得出结果． 【解答】解：根据交集的定义A∩B={x|x∈A，且x∈B}， ∵A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}， ∴A∩B={1，2}． 故选：B． 【点评】本题考查了集合的交集运算，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数相交于A，B两点，且最小值为，则函数的单调增区间是___________. 参考答案： 12. 已知向量        。 参考答案： -3或0 13. 已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为　 　． 参考答案： 4 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z=x+2y，则y=﹣x+ 平移此直线，由图象可知当直线y=﹣x+经过A时，直线在y轴的截距最小，得到z最小，由得到A（2，1）， 所以z=x+2y的最小值为2+2×1=4； 故答案为：4． 　 14. 设数列满足,,则=  ▲   . 参考答案： 略 15. 非零向量m,n满足3|m|=2|n|, 且n(2m+n),则m,n夹角的余弦值为         ． 参考答案：   16. 已知双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为　　． 参考答案： y=±x 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】运用离心率公式和a，b，c的关系，可得b==a，即可得到所求双曲线的渐近线方程． 【解答】解：由题意可得e==， 即c=a，b==a， 可得双曲线的渐近线方程y=±x， 即为y=±x． 故答案为：y=±x． 17. 若a＞1，设函数f（x）=ax+x﹣4的零点为m，g（x）=logax+x﹣4的零点为n，则+的最小值为          ． 参考答案： 1 【考点】函数零点的判定定理；基本不等式． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】构建函数F（x）=ax，G（x）=logax，h（x）=4﹣x，则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n，注意到F（x）=ax，G（x）=logax，关于直线y=x对称，可得m+n=4，再用“1”的代换，利用基本不等式，即可得出结论． 【解答】解：由题意，构建函数F（x）=ax，G（x）=logax，h（x）=4﹣x， 则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n． 注意到F（x）=ax，G（x）=logax，关于直线y=x对称，可以知道A，B关于y=x对称， 由于y=x与y=4﹣x交点的横坐标为2，∴m+n=4． 则+=（+）（m+n）=（2++）≥（2+2）=1， 当且仅当m=n=2时，等号成立，故+的最小值为1， 故答案为：1． 【点评】本题考查函数的零点，考查基本不等式的运用，考查学生分析转化问题的能力，求出m+n=4，正确运用基本不等式是关键，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 （1）判断f（x）在（0，+∞）上的增减性，并证明你的结论 （2）解关于x的不等式f（x）＞0 （3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明． 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系进行判断与证明； （2）求出f（x）=0的解，再根据f（x）的单调性得出不等式的解； （3）令g（x）=f（x）+2x，求出g（x）的最小值，令gmin（x）≥0即可解出a的范围． 【解答】解：（1）f（x）在（0，+∞）上是减函数， 证明：f′（x）=﹣＜0， ∴f（x）在（0，+∞）上是减函数． （2）①若a＜0，则f（x）=﹣＞0恒成立， ∴f（x）＞0的解为（0，+∞）； ②若a＞0，令f（x）=﹣=0得x=2a． ∵f（x）在（0，+∞）上是减函数， ∴f（x）＞0的解为（0，2a）． 综上，当a＜0时，不等式f（x）＞0的解集是（0，+∞）， 当a＞0时，不等式f（x）＞0的解集是（0，2a）． （3）令g（x）=f（x）+2x=﹣+2x， 则g′（x）=2﹣=2（1﹣）， ∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0， ∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增． ∴gmin（x）=g（1）=﹣+4， ∵f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立， ∴﹣+4≥0，解得a＜0或a≥． ∴a的取值范围是{a|a＜0或a≥}． 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，证明：. 参考答案： (1)见解析；(2)见证明 【分析】 （1）对a分a≥0和a＜0讨论，利用导数求函数的单调区间；（2）时，欲证只需证明-1，再构造函数，利用导数求函数的最小值，即得证. 【详解】（1）的定义域为. 由已知，， 则①当时，恒成立，此时在上单调递增； ②当时，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，的单调增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）考虑到时， 欲证，只要证= 设，则，令可得， 且当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以， 即恒成立，所以恒成立，即. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式和求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20. （13分） 已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点.    （Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；    （Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹. 参考答案： 解析：（Ⅰ）解：由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得          重心，外心F，垂心.当时，          G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；当时，设G,H所在直线的斜  率为，F，G所在直线的斜率为.因为，  ，所以，G，F，H三点共线.  综上可得，G，F，H三点共线.    （Ⅱ）解：若FH//OB，由，得，          配方得，即.  所以，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短  轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四点. 21. （本小题共13分）已知函数（）. （Ⅰ）求函数的单调区间; (Ⅱ）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求 的取值范围。 参考答案： 解：（I）                         ……2分 当 即  f(x)的单调递增区间为（0，）,单调递减区间为（,    ………4分 当 ， 即  f(x)的单调递增区间为（,,单调递减区间为（0，） ……6分 （II）得           ……8分 +3     ……9分                      ………10分   ……11分 ……12分    即：      ……13分 22. 已知函数. （Ⅰ）若函数在上是增函数，求正实数的取值范围； （Ⅱ）当时，对任意的正整数， 求证：，且不等式都成立. 参考答案： 解：（I）由题设可得 函数在上是增函数， 当时，不等式即恒成立. 当时，的最大值为1，则实数的取值范围是；-----6分 （Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知