湖南省湘潭市江南机器厂职工子弟中学2023年高三数学理期末试题含解析

湖南省湘潭市江南机器厂职工子弟中学2023年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由q?p，反之不成立．例如取f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调． 【解答】解：命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数， 则q?p，反之不成立．例如f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调． 则p是q的必要不充分条件． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的奇偶性单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2. 著名的“3n+1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成1．如图的程序框图示意了3n+1猜想，则输出的n为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 参考答案： B 【分析】 根据程序框图的要求，进行模拟运算，对的值依次进行讨论，得到答案. 【详解】解：是偶数，，， 是奇数，， 是偶数， 是偶数，， 是偶数，， 是偶数，成立， 输出， 故选：B． 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，考查对判断语句和循环条件的辨析，利用模拟运算法是解决本题的关键．属于简单题． 3. 如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于 （    ）     A． B．     C．  D． 参考答案： D 4. 已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(     ) A．[1，+2] B．[1，e2﹣2] C．[+2，e2﹣2] D．[e2﹣2，+∞） 参考答案： B 【考点】对数函数的图像与性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可． 【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解． 设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=， ∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点， ∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（）， 故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1． 从而a的取值范围为[1，e2﹣2]． 故选B． 【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解． 5. 若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是（   ） A．           B． C．         D． 参考答案： D 终边落在直线上的角的取值集合为 或者.故选D.    6. 已知，当时，恒成立，则的取回范围为（   ） A．     B．     C．     D．     参考答案： A 7. 己知是定义在R上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是(       ) A．             B．或 C．           D．或  参考答案： B 略 8. 设i是虚数单位,如果复数的实部与虚部是互为相反数,那么实数a的值为 （ ） A． B． C．3 D．－3 参考答案： D 9. 已知数列满足，且，则的值是() A．         B．        C．         D． 参考答案： D 10. 春节前，某市一过江大桥上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计． 【分析】作出基本事件对应的平面区域和符合条件的平面区域，求出对应的几何度量． 【解答】解：设两串彩灯分别在通电后x秒，y秒第一次闪亮， 则所有的可能情况对应的平面区域为正方形OABC， 作出直线x﹣y=3和直线y﹣x=3，则两灯在第一次闪亮时刻不超过3秒对应的平面区域为六边形ODEBGF， ∴P===． 故选B． 【点评】本题考查了几何概型的概率计算，作出对应的平面区域是关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等比数列是递增数列，是的前项和.若是方程的两个根，则　_______　． 参考答案： 364 略 12. 在平行四边形ABCD中，，则          ． 参考答案： －7 在平行四边形ABCD中，， ， 则.   13. 数列{14－2n}的前n项和为Sn，数列{︱14－2n︱}的前n项和为Sn′，若Sn的最大值为Sm，则n≥m时，Sn′＝            参考答案： 14. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为　　元． 参考答案： 2300 略 15. 正方体中，与平面所成角的正弦值为       参考答案： 16. 在（tanx+cotx）10的二项展开式中，tan2x的系数为　   　（用数值作答） 参考答案： 210 【考点】二项式系数的性质． 【分析】通项公式Tr+1=tan10﹣rx?cotrx=tan10﹣2rx，令10﹣2r=2，解得r即可得出． 【解答】解：通项公式Tr+1=tan10﹣rx?cotrx=tan10﹣2rx， 令10﹣2r=2，解得r=4． ∴tan2x的系数==210． 故答案为：210． 17. 扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为__*___ 参考答案： 4cm2 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆E：=1（a＞b＞0）过点M（2，1），焦距为2． （1）求椭圆E的方程； （2）若直线l平行于OM，且与椭圆 E交于A、B两个不同的点（与M不重合），连接 MA、MB，MA、MB所在直线分别与x轴交于P、Q两点，设P、Q两点的横坐标分别为s，t，探求s+t是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 参考答案： 考点：椭圆的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）通过将点M（2，1）代入椭圆方程，利用椭圆E的焦距为2，计算即得结论； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），通过将直线l方程代入椭圆E的方程，利用韦达定理可得s、t的表达式，计算即得结论． 解答： 解：（1）∵椭圆E：=1（a＞b＞0）过点M（2，1）， ∴， 又∵椭圆E的焦距为2， ∴2c=2， ∴a=2，b=， ∴椭圆E的方程为：； （2）结论：s+t为定值4． 理由如下： 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为：y=x+m（m≠0）， 将直线l方程代入椭圆E的方程，消去y整理可得： x2+2mx+2m2﹣4=0， 由韦达定理可得：x1+x2=﹣2m，x1?x2=2m2﹣4， 由题可知MA、MB的斜率一定存在且不为0，设为k1、k2， 则直线MA的方程为：y﹣1=k1（x﹣2）， ∴s=2﹣，同理可得t=2﹣， ∴s+t=4﹣， 又∵k1+k2=+ = ==0， ∴s+t=4为定值． 点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查椭圆的方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 19. 已知函数。 （1）解不等式； （2）若，且，求证：。 参考答案： 解：（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝ （Ⅱ）f(ab)＞|a|f()即|ab－1|＞|a－b|． …6分 因为|a|＜1，|b|＜1， 所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0， 所以|ab－1|＞|a－b|． 故所证不等式成立． …10分 略 20. 已知函数， 若数列（n∈N*）满足：， (Ⅰ) 证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；   (Ⅱ)设数列满足：，求数列的前n项的和. 参考答案：   是等差数列，                  ……5分 （2）                                   ……12分   略 21. （14分）已知集合A={x|1≤x≤5}，B={x|﹣2＜x＜3}． （1）求A∪B （2）若C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，试写出集合C的所有子集． 参考答案： 考点： 并集及其运算；子集与真子集． 专题： 集合． 分析： （1）根据集合的基本运算进行求解即可求A∪B （2）根据集合关系，即可得到结论． 解答： （1）∵A={x|1≤x≤5}，B={x|﹣2＜x＜3}． ∴A∪B={x|﹣2＜x≤5} （2）∵A∩B═{x|1≤x＜3}． ∴C={x|x∈A∩B，且x∈Z}={1，2}， 故集合C的所有子集为?，{1}，{2}，{1，2}． 点评： 本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，比较基础． 22. (本小题满分13分) 已知首项为的等比数列是递减数列，其前项和为，且，，成等差数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，数列的前项和为，求满足不等式 的最大的值． 参考答案： （Ⅰ）设等比数列的公比为，由题知，且，，成等差数列．可得，变形可得 ，可得所以， 解得或，又等比数列是递减数列，所以，数列的通项 公式                                                 ……………6分 （Ⅱ）由于，所以数列的其前项和为为 ，所以可得 ，两式相减可得 ，由，可得，满足不等式 的最大的值是.                              ……………13分