河南省许昌市禹州钧台街道办事处森华文武学校2023年高一数学文联考试题含解析

河南省许昌市禹州钧台街道办事处森华文武学校2023年高一数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）△ABC中，=，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设=，=，用，表达=（） A． （） B． （） C． （） D． （） 参考答案： D 考点： 向量加减混合运算及其几何意义． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由平行线等分线段定理及中线的定义知，==，由此能求出结果． 解答： 如图，△ABC中， ∵==，DE∥BC，且与边AC相交于点E， △ABC的中线AM与DE相交于点N， ∴=，==， ∵=，=， ∴=， ∴=（）． 故选：D． 点评： 本题考查平面向量的加法法则的应用，是基础题，解题时要注意平行线等分线段定理的灵活运用． 2. 已知，则（  ） A． B． C． D． 参考答案： C 3. （5分）已知正三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，且PA，PB，PC两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（） A． B． C． 3π D． 12π 参考答案： C 考点： 球的体积和表面积；球内接多面体． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 该三棱锥外接球与以PA，PB，PC为棱长的正方体的外接球的半径相同，正方体的体对角线长等于正方体的外接球的半径，2R==，根据面积公式求解即可． 解答： 解；∵正三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，且PA，PB，PC两两垂直， ∴该三棱锥外接球与以PA，PB，PC为棱长的正方体的外接球的半径相同， ∴正方体的体对角线长等于正方体的外接球的半径， ∴2R==， R=， ∴该三棱锥外接球的表面积为4π×（）2=3π， 故选：C 点评： 本题考查了空间几何体的性质，外接球的半径，面积的求解，属于中档题，关键是构造几何体的关系． 4. 已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)    ＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是                               （   ） A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1) C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9) 参考答案： C 略 5. 六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（     ）          A．        B．         C．          D． 参考答案： C 6. 函数的定义域是（ ▲ ） A．(2,4)　　 　B．(2,+∞) 　　 C.(0,2) 　  　D．(－∞,2) 参考答案： D 7. 若对于任意的，都有满足方程 ，这时的取值集合为（     ）。    A．　  B．  　C．     D ．  参考答案： A 略 8. 在平面直角坐标系中，角α的终边经过点（﹣，），则sinα的值为（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 参考答案： D 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可． 【解答】解：角α的终边经过点（﹣，），可得r=， 则sinα==． 故选D． 9. 已知函数，则函数（     ） A．是奇函数，且在上是减函数    B．是偶函数，且在上是减函数 C．是奇函数，且在上是增函数    D．是偶函数，且在上是增函数 参考答案： C 因为,又因为f(x)在上是增函数,所以f(x) 是奇函数，且在上是增函数   10. （5分）设，则tan（π+x）等于（） A． 0 B． C． 1 D． 参考答案： B 考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 计算题． 分析： 先利用诱导公式化简tan（π+x），将x的值代入，求出正切值． 解答： 解：∵tan（π+x）=tanx ∴时，tan（π+x）=tan= 故选B． 点评： 给角的值求三角函数值时，应该先利用诱导公式化简三角函数，在将x的值代入求出值． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设向量若,则的值是___________． 参考答案： 因为，所以， 所以，所以 所以 ，故答案是.   12. 已知指数函数的图像过点（1，2），求=__________________ 参考答案： 8 13. 已知幂函数的图像过点(2,)，则         . 参考答案： 3 14. 若直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则实数a的值为　  　． 参考答案： 1或﹣3 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】由直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，知a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，由此能求出实数a的值． 【解答】解：∵直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直， ∴a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0， 解得a=1或a=﹣3． 故答案为：1或﹣3． 15. （4分）若，则a的取值范围为            ． 参考答案： 0＜a≤1 考点： 指数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 讨论a的取值范围，利用指数恒等式和对数的基本运算公式进行计算即可． 解答： 若0＜a＜1，则等式，等价为，此时等式恒成立． 若a=1，则等式，等价为，此时等式恒成立． 若a＞1，则等式，等价为，解得a=1，此时等式不成立． 综上：0＜a≤1， 故答案为：0＜a≤1 点评： 本题主要考查指数方程的解法，根据对数的运算性质和指数恒等式是解决本题的关键，注意要对a进行分类讨论． 16. 函数的定义域是    ▲    ； 参考答案： 17. =________________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求动点的轨迹方程，并说明曲线是什么图形； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程； （3）设是直线上的点，过点作曲线的切线，切点为，设，求证：过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 参考答案： （1）动点的轨迹方程为，曲线是以为圆心，2为半径的圆（2）的方程为或.（3）证明见解析，所有定点的坐标为， 【分析】 （1）利用两点间的距离公式并结合条件，化简得出曲线的方程，根据曲线方程的表示形式确定曲线的形状； （2）根据几何法计算出圆心到直线的距离，对直线分两种情况讨论，一是斜率不存在，一是斜率存在，结合圆心到直线的距离求出直线的斜率，于此得出直线的方程； （3）设点的坐标为，根据切线的性质得出，从而可得出过、、三点的圆的方程，整理得出，然后利用 ，解出方程组可得出所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意得，化简可得：， 所以动点的轨迹方程为. 曲线是以为圆心，为半径的圆； （2）①当直线斜率不存在时，，不成立； ②当直线的斜率存在时，设，即， 圆心到的距离为 ∵ ∴,  即，解得或， ∴的方程为或； （3）证明：∵在直线上，则设 ∵为曲线的圆心，由圆的切线的性质可得， ∴经过的三点的圆是以为直径的圆， 则方程为， 整理可得, 令，且, 解得或 则有经过三点圆必过定点，所有定点的坐标为，. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求法，考查直线截圆所得弦长的计算以及动圆所过定点的问题，解决圆所过定点问题，关键是要将圆的方程求出来，对带参数的部分提公因式，转化为方程组求公共解问题。 19. 如图，将一根长为m的铁丝弯曲围成一个上面是半圆，下方是矩形的形状． （1）将铁丝围成的面积y表示为圆的半径x的函数，并写出其定义域． （2）求面积最大时，圆的半径x大小． 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用． 【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】（1）根据形状不难发现它由矩形和一个半圆组成，故其面积为：一个矩形的面积+一个半圆的面积，周长为半圆弧长加上矩形的两高和底长，分别表示成关于底宽的关系式，由长度大于0，可得定义域； （2）再利用二次函数求最值和方法得出面积最大时的圆的半径即可． 【解答】解：（1）由题意可得底宽2x米，半圆弧长为πx， 再设矩形的高为t米，可得：y=2xt+x2， ∴t=， 可得周长为：m=2t+2x+πx=+2x+πx=+（2+）x， 由t＞0得0＜x＜， 即有y=﹣（2+）x2+mx，定义域为（0，）； （2）由y=﹣（2+）x2+mx =﹣（2+）（x﹣）2+， 当x=时，y取得最大值， 即有半径x=时，面积取得最大值． 【点评】此题主要考查了函数模型的选择与应用和函数最值问题，属于中档题．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，再应用二次函数的最值的求法加以解决． 20. 已知函数y= 4cos2x+4sinxcosx－2,（x∈R）。 （1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值及其相对应的x值； （3）写出函数的单调增区间； 参考答案： 21. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1),B（-1，3），若点C满足 ,其中且，求点C的轨迹及其轨迹方程. 参考答案： 解：因为A(3，1),B（-1，3）所以…………2分                 ……………………3分 又 ……………………5分 所以A,B,C三点共线                      …………………6分 所以点C的轨迹为直线AB                  …………………7分                     …………………9分 所以直线AB的直线方程为                        ……………………11分 化简得                    ……………………13分 所以点C的轨迹方程为       ……………………14分 略 22. （本小题满分12分，第（1）小问2分，第（2）小问4分，第（3）小问6分） 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格（百元）与时间（天）的函数关系近似满足为正常数，日销售量（件）与时间（天）的部分数据如下表所示： 参考答案： 解：（1）依题意有：， 即，所以．                    ………2分 （2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调， 故只能选②.                       ………4分 从表中任意取两组值代入可求得： ．                   ………6分 （3）， ．                   ………8分 ①当时，在上是减函数，在上是增函数， 所以，当时，（百元）．             ………10分 ②当时，为减函数， 所以，当时，（百元）．             ………11分 综上所述：当时，（百元）．         ………12分 略