(典型题)高考数学二轮复习知识点总结椭圆双曲线抛物线

1、学习必备欢迎下载椭圆、双曲线、抛物线高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1. 以选择、 填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质( 特别是离心率 ) ，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2. 以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解， 直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1| |PF2| 2a(2a|F1F2|) |PF1| |PF2| 2a(2ab0) x2a2y2b2 1(a0，b0) y22px(p0) 图形几何性质范围|x| a， |y| b|x| ax0顶点( a,0) ，(0 ，b) ( a,0) (0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点( c,0) (p2，0) 轴长轴长 2a， 短轴长 2b实轴长 2a， 虚轴长 2b离心率eca1b2a2(0e1) e1

2、准线xp2渐近线ybax精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载考点一圆锥曲线的定义与标准方程例 1 (1) 设椭圆x22y2m1 和双曲线y23x21 的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则 |PF1| |PF2| 的值等于 _(2) 已知直线yk(x2)(k0) 与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点 若|FA| 2|FB| ，则k_. 答案(1)3 (2)223解析(1) 焦点坐标为 (0，2)，由此得m24，故m6. 根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1| |PF2| 26，|PF1| |PF2| 23，两式平方相减得4|PF1|PF2| 43， 所以|PF1| |PF2| 3. (2) 方法一抛物线C：y28x的准线为l：x 2，直线yk(x2)(k 0)恒过定点P( 2,0) 如图，过A、B分别作AMl于点M，BNl于点N. 由|FA| 2|FB|

3、 ，则 |AM| 2|BN| ，点B为AP的中点连接OB，则 |OB| 12|AF| ，|OB| |BF| ，点B的横坐标为1，故点B的坐标为 (1,22)k2201223. 方法二如图，由图可知，BBBF，AAAF，又|AF| 2|BF| ，|BC|AC|BB|AA|12，即B是AC的中点2xBxA2，2yByA与y2A8xA，y2B8xB，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载联立可得A(4,42) ，B(1,22) kAB422241223. (1) 对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1| |PF2| |F1F2| ，双曲线的定义中要求|PF1| |PF2| |F1F2| ，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化(2) 注意数形结合，提倡画出合理草图(1)(2012 山东 ) 已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0) 的离心率

4、为32. 双曲线x2y21 的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( ) A.x28y221 B.x212y261 C.x216y241 D.x220y251 (2) 如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若 |BC| 2|BF| ，且|AF| 3，则此抛物线的方程为( ) Ay29xBy26xCy23xDy23x答案(1)D (2)C 解析(1) 椭圆的离心率为32，caa2b2a32，a2b. 椭圆方程为x24y24b2. 双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0 与椭圆x2 4y24b2在第一象限的交点为255b，255b，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b255b4，b25，a24b220. 椭圆C的方程为x220y251. (2) 如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知， |AF| |AA1| ，|BF| |BB1| ，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎

5、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载|BC| 2|BF| ，|BC| 2|BB1| ，BCB130，AFx60.连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于N，则 |NF| |A1F1| 12|AA1| 12|AF| ，即p32，抛物线方程为y2 3x，故选 C. 考点二圆锥曲线的几何性质例 2 (1)(2013 辽宁 ) 已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF. 若|AB| 10， |BF| 8， cosABF45， 则C的离心率为 ( ) A.35B.57C.45D.67(2) 已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且 |PF1| 4|PF2| ，则双曲线的离心率e的最大值为 _答案(1)B (2)53解析(1) 在ABF中，由余弦定理得|AF|2|AB|2|BF|22|AB| |BF|cos ABF，|AF|21

6、006412836，|AF| 6，从而 |AB|2|AF|2|BF|2，则AFBF. c|OF| 12|AB| 5，利用椭圆的对称性，设F为右焦点，则|BF| |AF| 6，2a|BF| |BF| 14，a7. 因此椭圆的离心率eca57. (2) 设F1PF2，由|PF1| |PF2| 2a，|PF1| 4|PF2|得|PF1| 83a，|PF2| 23a，由余弦定理得cos 17a2 9c28a217898e2. 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(0,180 ，cos 1,1) ，117898e21，10，b0)的左焦点F作圆x2y2a24的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_答案(1)33(2)102解析(1) 设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0 ，b) ，F(c,0)，D(xD，yD) ，则BF(c，b)，FD(xDc，yD

7、) ，BF2F D，cxDc，b2yD，xD3c2，yDb2.又点D在椭圆C上，3c22a2b22b21，即e213. e33. (2) 设ca2b2，双曲线的右焦点为F.则|PF| |PF| 2a，|FF| 2c. E为PF的中点，O为FF的中点，OEPF，且 |PF| 2|OE|. OEPF，|OE| a2，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载PFPF， |PF| a，|PF| |PF| 2a3a. |PF|2|PF|2|FF|2，9a2a24c2，ca102. 双曲线的离心率为102. 考点三直线与圆锥曲线的位置关系例 3 已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率e22，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足MFFB21. (1) 求椭圆C的方程；(2) 是否存在直线l，当直线l交椭圆 于P、Q两点时，使点F恰为PQM的垂心？若存

8、在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1) 根据题意得，F(c,0)(c0)，A( a,0) ，B(a,0) ，M(0 ，b) ，MF(c，b) ，FB(ac,0) ，MFFBacc221. 又eca22，a2c，2c2c22 1，c21，a22，b21，椭圆C的方程为x22y21. (2) 假设存在满足条件的直线l. kMF 1，且MFl，kl 1. 设直线l的方程为yxm，P(x1，y1) ，Q(x2，y2) ，由yxm，x22y21消去y得 3x24mx2m220，则有 16m212(2m22)0，即m2B0 时，表示焦点在y轴上的椭圆；BA0 时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0) 的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1) 、B(x2，y2) (1)y1y2p2，x1x2p24；精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(2)|AB| x1x2p2psin2( 为弦AB的

9、倾斜角 ) ；(3)SAOBp22sin ；(4)1|FA|1|FB|为定值2p；(5) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 1 已知点F是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，ABE是锐角 三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( ) A(1，) B(1,2) C(1,1 2) D(2,1 2) 答案B 解析由ABx轴，可知ABE为等腰三角形，又ABE是锐角三角形，所以AEB为锐角，即AEF45，于是 |AF|EF| ，b2aac，于是c2a2a2ac，即e2e20，解得 1e1，从而 1eb0) 的离心率为e12，右焦点为F(c,0) ，方程ax2bxc 0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2) ( ) A必在圆x2y22 内B 必在圆x2y22 上C必在圆x2y22 外D 以上三种情形都有可能答案A 解析x1x2ba，x1x2ca. x21x22(x1x2)22x1x2b2a22cab22aca2. eca12，c12a，b2a2c2a212a234a2. 精品p d f 资料 - -

10、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x21x2234a22a12aa2740) 的焦点为F，点M在C上， |MF| 5，若以MF为直径的圆过点(0,2) ，则C的方程为( ) Ay24x或y28xB y22x或y28xCy24x或y216xD y22x或y216x答案C 解析由题意知：Fp2，0，抛物线的准线方程为xp2，则由抛物线的定义知，xM5p2，设以MF为直径的圆的圆心为52，yM2，所以圆的方程为x522yyM22254，又因为圆过点 (0,2) ，所以yM4，又因为点M在C上，所以 162p5p2，解得p 2 或p8，所以抛物线C的方程为y24x或y216x，故选 C. 2 与椭圆x212y2161共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) Ay2x231 B.y23x21 C.3x243y281 D.3y243x281 答案A 解析椭圆x212y2161 的离心率为16121612，且焦点为 (0

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