2020-2021学年新教材高中数学 第二章 函数 2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课件 北师大版必修第一册

1、2.2函数的表示法第1课时函数的表示法激趣诱思知识点拨利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值,据此可以描绘出心电图,如图所示.医生在看心电图时,会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等).如果用t表示测量的时间,v表示测量的指标值,可以得出v是t的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示?激趣诱思知识点拨一、函数的表示法常用的函数的表示方法有三种: ,具体如下.列表法、图象法和解析法 激趣诱思知识点拨名师点评 由列表法和图象法的概念可知,函数也可以说就是一张表或一张图,根据这张表或这张图,由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.激趣诱思知识点拨微练习观察下表:则f(f(-1)-g(3)=()A.-4B.-3C.3D.5答案:D解析:由题表知,f(-1)=-1,g(3)=-4,所以f(f(-1)-g(3)=f(3)=5.激趣诱思知识点拨二、函数的图象1.定义一般地,将函数y=f(x),xA中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图象,即F=(x,y)|y=f

2、(x),xA.这就是说,如果F是函数y=f(x)的图象,则图象上任意一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在函数图象F上.激趣诱思知识点拨(3)利用常见函数图象作出所求函数的图象已学过的常见函数图象有:常值函数的图象,如f(x)=1的图象为一条平行于x轴的直线;一次函数的图象,如f(x)=-3x+1的图象是一条经过第一、二、四象限的直线;二次函数的图象,如f(x)=2x2-x+1的图象是一条开口向上的抛物线;对于反比例函数f(x)= (k0,且k为常数),当k0时,其图象是在第一、三象限内,以原点为对称中心的双曲线,当k0时,其图象是在第二、四象限内,以原点为对称中心的双曲线.2.函数图象的作法(1)函数图象的特征函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.(2)描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域) 激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨名师点析 1.从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有点即可.但是,很多函数的图象都由无穷多个点组成,描出所有点并不现实.因此,实际作图时,经常先描出函数图象上一些有代

3、表性的点,然后根据有关性质作出函数图象,这称为描点作图法.2.图象在x轴上的投影所表示的区间为定义域,在y轴上的投影所表示的区间为值域.激趣诱思知识点拨微思考如何检验一个图形是不是一个函数的图象?写出你的检验法则.提示:检验法则:过图形上任意一点作与x轴垂直的直线,若所有直线与图形都只有一个交点,则此图形是函数的图象,否则这个图形不是函数的图象.激趣诱思知识点拨微练习如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(f(0)=()A.2B.4C.0D.3答案:C解析:结合图象可得f(0)=4,f(4)=2,f(2)=0,则f(f(f(0)=f(f(4)=f(2)=0.探究一探究二探究三素养形成当堂检测列表法表示函数例1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:则f(g(1)=;当g(f(x)=2时,x=.分析这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对应的值即可.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要

4、计算.答案:11解析:由g(x)的对应表,知g(1)=3,f(g(1)=f(3).由f(x)的对应表,知f(3)=1,f(g(1)=f(3)=1.由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2.又g(f(x)=2,f(x)=2.又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.x=1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究在本例已知条件下,g(f(1)=;当f(g(x)=2时,x=.答案:23解析:f(1)=2,g(f(1)=g(2)=2.f(g(x)=2,g(x)=1,x=3.探究一探究二探究三素养形成当堂检测求函数的解析式例2(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).分析(1)(方法一)令x+1=t,将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即可得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的地位与f(x)中x的地位相同,因此还可以将f(x+1)=x2-3x+2变形为f(

5、x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6.(2)设出f(x)=ax2+bx+c(a0),再根据条件列出方程组求出a,b,c的值.(3)将f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-x代替,解关于f(x)与f(-x)的方程组即可.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,f(x)=x2-5x+6.(方法二)f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,f(x)=x2-5x+6.(2)设所求的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a0).f(0)=1,c=1,则f(x)=ax2+bx+1.f(x+1)-f(x)=2x对任意的xR都成立,a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,探究一探究二探究三素养形成当堂检测(3)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得探究一探究二探究三素养形成当堂检测反

6、思感悟求函数解析式的四种常用方法1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x)的解析式,直接将g(x)代入.2.待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(或方程组)求出待定系数,进而求出函数解析式.3.换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x)中求出f(t),从而求出f(x).4.消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x)=2x-1,求f(x)的解析式. 解:(1)f(x)为一次函数,可设f(x)=ax+b(a0).探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测函数的图象及应用例3作出下列函数的图象,并求其值域:(1)y

7、=1-x(xZ);(2)y=2x2-4x-3(0 x0)或向右(a0)或向下(a0)的图象沿y轴翻折到y轴左侧,函数y=f(x)(x0)的图象不变,即可得到函数y=f(|x|)的图象.探究一探究二探究三素养形成当堂检测典例1已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(1-x)的图象为() 探究一探究二探究三素养形成当堂检测图象.即将函数y=f(x)的图象先作关于y轴的对称变换得到函数y=f(-x)的图象,再将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(1-x)的图象.答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测典例2作出函数f(x)=|x2-4x-5|在区间-2,6上的图象.解:先作出二次函数y=x2-4x-5的图象,再把图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,保留x轴上及其上方的部分,并保留在区间-2,6上的部分,如图所示.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为()A.f(x)=-xB.f(x)=x-1C.f(x)=x+1D.f(x)=-x+1答案:D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是()答案:C解析:因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D,首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.已知函数f(x),g(x)对应值如下表: 则g(f(g(-1)的值为()A.1B.0C.-1D.无法确定答案:C解析:g(-1)=1,则f(g(-1)=f(1)=0,则g(f(g(-1)=g(0)=-1.

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