随机事件与古典概型(讲解部分)

1、第十一章 概率与统计 11.1 随机事件与古典概型 高考数学 考点一事件与概率 1.事件的分类 确定 事件 必然事件一般地,我们把在条件S下,一定 会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件 不可能 事件 在条件S下,一定不会发生的事 件叫做相对于条件S的不可能事 件 随机事件在条件S下,可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件 S的随机事件 考点清单 2.频率与概率 (1)频数与频率:在相同条件S下进行n次试验,观察某一事件A是否出现,则 称在n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;事件A出现的比例 fn(A)=为事件A出现的频率. (2)概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数n的增加,事件A发生的 频率fn(A)稳定在某个常数上,则把这个常数记作P(A),称为事件A的概率. 3.事件的关系与运算 名称定义符号表示 包含关系如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或 称事件A包含于事件B) B A(或A B) 相等关系若B A,且B A,那么称事件A与事件B相等A=B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生,则称此事件为事 件A与事

2、件B的并事件(或和事件) AB(或A+B) 交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称 此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) AB(或AB) 互斥事件若AB为不可能事件,那么称事件A与事件B互斥AB= 对立事件若AB为不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A 与事件B互为对立事件 AB= 且AB=U(U为全 集) 4.概率的几个基本性质 (1)概率的范围:0,1.(2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥,则P(AB)=P(A)+P(B). (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件,P(AB)=1,P(A)= 1-P(B). 考点二古典概型 1.古典概型的两个特点 (1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 (1)在基本事件总数为n的古典概型中,每个基本事件发生的概率都是相等 的,即每个基本事件的概率都是. (2)对于古典概型,任何事件的概率为P(A)=. 考法一随机事件的频率与概率 知能拓

3、展 例1某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元, 售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气 温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300 瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计 了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. 最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40) 天数216362574 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一 天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率. 解析(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于 25, 由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6, 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一

4、天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于25,则Y=6450-4450=900; 若最高气温位于区间20,25), 则Y=6300+2(450-300)-4450=300; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(450-200)-4450=-100. 所以,Y的所有可能值为900,300,-100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20, 由表格数据知,最高气温不低于20的频率为 =0.8, 因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 方法总结1.频率与概率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确 定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作 为随机事件概率的估计值. 2.随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频 率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率. 考法二互斥事件、对立事件概率公式的应用 例2一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随 机取出1球,求: (1)取出1球是红球或黑球的概率; (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率. 解析记事件A1=任取1

5、球为红球, A2=任取1球为黑球,A3=任取1球为白球,A4=任取1球为绿球, 则P(A1)=,P(A2)=, P(A3)=,P(A4)=. 根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得 (1)取出1球是红球或黑球的概率为 P(A1A2)=P(A1)+P(A2)=+=. (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为 P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=+=. 方法总结求复杂互斥事件概率的方法 1.直接求解法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和, 运用互斥事件的概率加法公式计算; 2.间接求解法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求解, 即正难则反的数学思想.特别是“至多”“至少”型题目,用间接求解法比 较简单. 提醒应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定各个事件是 否彼此互斥,然后求出各个事件发生的概率,再求和(或差). 考法三古典概型概率的求法 例3若函数f(x)=ln(x2+1)的值域为0,1,2,从满足条件的所有定义域集合 中选出2个集合,则取出的2个集合中各有三个元素的概率是() A.B.C.D. 解题导引 解析令ln(x2+1)=0,得x2+1=1,x=0,令ln(x2+1)=1,得x2+1=e, x=,令ln(x2+1)=2,得x2+1=e2,x=. 则满足值域为0,1,2的定义域集合为 0,-,-,0,-,0,-,0,0,-, ,0,-,-,0,-,-,0,-, ,0,-,-,.则满足这样条件的定义域集合的个数为9, 从满足条件的所有定义域集合中选出2个集合, 基本事件总数n=36, 取出的2个集合中各有三个元素的集合个数m=6, 取出的2个集合中各有三个元素的概率P=. 答案A 方法总结1.古典概型的概率求解步骤 2.基本事件个数的确定方法 (1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型. (2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标法. (3)画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的 问题及较复杂问题中基本事件个数的探求. (4)运用排列组合知识计算.

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