高考数列专题复习.doc

1一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳：1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列 称等差数列；}{),(}{1nnn adaa则常 数满 足 2°.通项公式： ;)(1kk3°.前 n 项和公式：公式： .2)1(2)11dnaSn ②等比数列：1°.定义若数列 （常数） ，则 称等比数列；2°.通项公qann1}{满 足 }{n式： 3°.前 n 项和公式： 当 q=1 时;1knnqaa ),1(11qaSnn.1Sn2．简单性质：①首尾项性质：设数列 ,,:}{321nnaa1°.若 是等差数列，则}{na ;231nn2°.若 是等比数列，则 .21 n②中项及性质：1°.设 a，A，b 成等差数列，则 A 称 a、b 的等差中项，且 ;2baA2°.设 a,G,b 成等比数列，则 G 称 a、b 的等比中项，且 .G③设 p、q、r、s 为正整数，且 ,srqp1°. 若 是等差数列，则}{n ;sr2°. 若 是等比数列，则asrqpa④顺次 n 项和性质：1°.若 是公差为 d 的等差数列， 组成公差为 n2d 的等差数列；}{nanknkaa121312,,则2°. 若 是公比为 q 的等比数列， 组成公比为 qn的等比数列.n nknk11312,,则（注意：当 q=－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若 是等比数列，}{a则顺次 n 项的乘积： 组成公比这 的等比数列.nnnaaa3212121,,   2nq⑥若 是公差为 d 的等差数列,}{1°.若 n 为奇数，则 而 S 奇、S 偶 指,,:(21 nnSS 中中中偶奇中 即指 中 项注且所有奇数项、所有偶数项的和） ；2°.若 n 为偶数，则 .2d奇偶（二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差 d≠0 的等差数列的通项公式是项 n 的一次函数 an=an+b;②公差 d≠0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 Sn=an2+bn;③公比 q≠1 的等比数列的前 n 项公式可以写成“S n=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或 a-m,a,a+m） ”②三数成等比数列，可设三数为 “a,aq,aq2(或 ，a,aq)”③四数qa成等差数列，可设四数为“ ”④四数成;3,,3(,2, mamama 或等比数列，可设四数为“ ”等等；类似的经验还很多，应),,,(,,3q或在学习中总结经验.[例 1]解答下述问题：2（Ⅰ）已知 成等差数列，求证：cba1,（1） 成等差数列；（2） 成等比数列.2,[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决， .2, ,)2(4)()()2( ;,.)(2)( )()1( ,22成 等 比 数 列成 等 差 数 列bca bcabacb acbacbacb [评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，. （Ⅱ）等比数列的项数 n 为奇数，且所有奇数项的乘积为 1024，所有偶数项的乘积为，求项数 n.218[解析]设公比为 24180,42531naq )(21na.7,235,2)()1(,)( 2)1(28043553521 35133 nq nqann得 代 入 得将而 （Ⅲ）等差数列{a n}中，公差 d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,, 3221 kkankk 其 中恰 为 等 比 数 列求数列 .}{项 和的 前[解析] ,,, 1725175 a成 等 比 数 列.1312}{,3)()(2,34}{,,00)()6()4(111512  nSnkkdkdaaqdaddnnknknn项 和的 前 得由而 的 公 比数 列[评析]例 2 是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例 3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去 32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为 a－d, a, a+d，则有.938,2650,1 ,92610,,43232)()(2或原 三 数 为 或得或adda（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为 10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[解析]设此四数为 ,)15(,5,1aa①②①，②3 25125,,,125)(450 )()5)()1(22 22amaamaa N且均 为 正 整 数与解得 所求四数为 47，57，67，77),(6不 合或[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列练习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D）不存在2.、在等差数列 中， ,且 , , 成等比数列，则 的通项公式为 na411a53na（ ）（A） （B） （C） 或 （D） 或3n n13n4n 3na4na3、已知 成等比数列，且 分别为 与 、 与 的等差中项，则 的值为 cb,yx,abcycxa（ ）（A） （B） （C ） （D） 不确定21224、互不相等的三个正数 成等差数列， 是 a,b 的等比中项， 是 b,c 的等比中项，那么 ， ， 三cba,xy2xb2y个数（ ）（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列 的前 项和为 , ,则此数列的通项公式为 nanSn2412（ ）（A） （B） （C ） （D）2n 8an 12nanan26、已知 ，则 )(4)(zyxz（ ）（A） 成等差数列 （B ） 成等比数列 （C） 成等差数列 （D） 成zy, zx, zyx1, zyx1,等比数列7、数列 的前 项和 ，则关于数列 的下列说法中，正确的个数有 na1naSna（ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A）4 （B）3 （C ）2 （D）18、数列 1 ,前 n 项和为 617,85,2（ ）（A） （ B） （C） （D）n 212n 12n2129、若两个等差数列 、 的前 项和分别为 、 ，且满足 ，则 的值为 nabnAnB54nA13ba（ ）（A） （B） （C ） （D）977820198710、已知数列 的前 项和为 ,则数列 的前 10 项和为 na52nSnna（ ）（A）56 （B）58 （C ）62 （D）6011、已知数列 的通项公式 为, 从 中依次取出第 3，9，27，…3 n, …项，按原来的顺序排成nann一个新的数列，则此数列的前 n 项和为 4（ ）（A） （B） （C ） （D）2)13(n53n2310n2310n12、下列命题中是真命题的是 ( )A．数列 是等差数列的充要条件是 ( )naqpna0B．已知一个数列 的前 项和为 ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列nabS2C．数列 是等比数列的充要条件n 1nD．如果一个数列 的前 项和 ,则此数列是等比数列的充要条件是acn)1,0(0ca二、填空题13、各项都是正数的等比数列 ，公比 ,成等差数列，则公比 = n1q875aq14、已知等差数列 ，公差 , 成等比数列，则 = na0d175a1862751a15、已知数列 满足 ,则 = nnnS4116、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题17、已知数列 是公差 不为零的等差数列，数列 是公比为 的等比数列， nadnbaq46,10,321bb，求公比 及 。

qb18、已知等差数列 的公差与等比数列 的公比相等，且都等于 , ，nanbd)1,0(1ba, ,求 3b5n19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为 216，后三个数成等差数列，其和为 36，求这四个数20、已知 为等比数列， ，求 的通项式na3240,3ana21、数列 的前 项和记为n 11, 1nnSS（Ⅰ）求 的通项公式；a（Ⅱ）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又 成等比数列，nbnT35123,,abab求 nT22、已知数列 na满足 *11,2().naN（I）求数列 的通项公式；（II）若数列 nb满足 1214.()()nnbbba ，证明： nb是等差数列；数列综合题一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C A A A C A D D D D二、 填空题13. 14. 15. 16. 625296n)31(3三、解答题17.a =a1,a =a10=a1+9d,a =a46=a1+45。