基本不等式的使用.docx

均值不等式的使用一、 公式的意义和使用条件：1、 a2+b2≥2ab,a∈R,b∈R,当a=b时取“＝”逆运用公式：ab≤a2+b22,a∈R,b∈R,当a=b时取“＝”例：求y=sinxcosx的最大值[12] (使用三角函数和均值不等式两种解法)结论：积为常数时，平方和有最小值；平方和为常数时，积有最大值2、 a+b≥2ab, a∈R+,b∈R+, 当a=b时取“＝”[带同窗们分析两个公式的使用差别]逆运用公式：ab≤(a+b2)2, a∈R+,b∈R+, 当a=b时取“＝”例：求y=x(5-x)的最大值[254]例：设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明 ∵a，b，c都是正数，∴，，都是正数．∴＋≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，＋≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．三式相加，得2(＋＋)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.当且仅当a＝b＝c时等号成立．3、 a2+b22≥(a+b2)2　a∈R,b∈R,当a=b时取“＝”[可通过求差比较法得到]，化简后：a2+b2≥(a+b)22 逆运用公式：a+b≤2a2+b2注：直接建立和与平方和的运算关系例：已知x+y=1,求x+y的最小值。

解法一：（x+y）2＝x+y+2xy x+y=1-2xy因此求x+y的最小值，只需当xy取最大时即可x+y≥2xy2xy≤1xy≤14,此时x+y的最小值为12，当x=y=14取＝解法二：x+y≥（x+y）22=12, 当x=y=14取＝例：已知：a>0,b>0,a+b=1,求证：a+12+b+12≤2解法一：（a+12+b+12）2＝a+b+1+2a+12(b+12)=2+2ab+34求a+12+b+12的最大值，则需满足ab最大即可.a+b≥2ab,ab≤14a+12+b+122 ≤4a+12+b+12≤2解法二：直接运用公式注意：①公式中的字母可以是一种字母、数字或者式子；②公式中的字母取值范畴③取“=”条件与否满足例：[意义考察]下列函数中，最小值为２的是：（ D ） A、y=x + 1x B y=logx + 1logx (1Q>M B．Q>P>M C．Q>M>P D．M>Q>P解析　由于P＝log，Q＝(loga＋logb)，M＝log(a＋b)，因此只需比较，，的大小，显然>.又由于<(由于a＋b>，也就是<1)，因此>>，而对数函数当底数不小于0且不不小于1时为减函数，故Q>P>M.注意：①若公式中的字母是负数，解决方式是提负号；若公式中的字母是可正可负，解决方式是分正负讨论。

例：y=x-2 +4x-2 , x<2,求y的取值范畴例：y=tanx + 12tanx , 求y的取值范畴②当取=条件无法满足，或者求取值范畴时，可借助对勾函数的单调性补充：对勾函数y=x+ax的单调性，并指明长处是即可以求最大值也能求最小值，而均值不等式的局限性在于只能求某一最值例：y=sinx + 2sinx (03,求y=2x2+xx-3 值域例：设x,y,z均为正实数，满足x-2y+3z=0,则y2xz最小值为（3）解：y=x+3z2代入，原式＝14（ＸＺ+9zx+6）≥3（体现消元思路） [根式配凑]例：求函数y=x2+6x2+2的最小值解：y=x2+6x2+2=x2+2+4x2+2=x2+2+4x2+2≥4当x2+2＝4x2+2即x=±2时，取等号[条件性配凑]例：若x>0且x2+y22=1,则x1+y2的最大值为( )解：原式＝222x1+y2≤22 2x2+1+y22=324，当2x＝1+y2即x=32, y2=12取＝。

例：x>0，y>0, x+2y=2,求3xy的最大值（）解：3xy＝32x 2y≤32( x+2y2)2=32 ,当x=2y=1时取等号注：多次使用增值不等式的条件：同向且取=条件能同步满足例：已知a2+b2=1,x2+y2=4,求ax+by的最大值错解：ax≤a2x22 ,by≤b2++y22ax+by≤a2+b2+x2+y22=52,取＝条件无法满足正解；ax=12(2a∙x) ≤4a2x22,by=12(2b∙y) ≤b2++y22ax+by≤4a2+4b2+x2+y22=4当x=2a且y=2b时取等号 三、　数字代换及等式代换例：已知a>0,b>0,且1a+1b=1,求a+b的最小值4）分析：两种思路解一下例：已知a>0,b>0，c>0,a+2b+3c=6求证：a+6a+b+3b+c+2c≥12证明：a+6a+b+3b+c+2c＝3+6a+3b+2c6a+3b+2c=16a+2b+3c(6a+3b+2c)=16(18+3ab+12ba+18ca+2ac+9cb+4bc)≥9当a=2,b=1,c=23时，取等号例：已知：x>0,y>0,且x+y=1,求3x+4y的最小值解：3x+4y＝（3x+4y）（x+y）＝7+3yx+4xy≥7+43当3yx=4xy,联立x+y=1x=23-3,y=4-23,等号成立。

例：已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(c)．A. B．4 C. D．5例：(·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是 (c　)A. B. C．5 D．6解析　∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＝＋≥＋×2＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.例：函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均不小于0，则＋的最小值为 (　C　)A．2 B．4 C．8 D．16解析　点A(－2，－1)，因此2m＋n＝1.因此＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥8，当且仅当n＝2m，即m＝，n＝时等号成例：已知m、n、s、t∈R＋，m＋n＝2，＋＝9，其中m、n是常数，且s＋t的最小值是，满足条件的点(m，n)是圆(x－2)2＋(y－2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为__________．答案　x＋y－2＝0解析　因(s＋t)＝m＋n＋＋≥m＋n＋2，因此m＋n＋2＝4，从而mn＝1，得m＝n＝1，即点(1,1)，而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1，从而此弦的方程为x＋y－2＝0.例：已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　4　)类型二　变等式为不等式例：若正数x、y满足x+y+3=xy,求xy的最小值。

9）解：x+y≥2xy; ∴3+2xy≤xy,略例：已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是 (　4　)例：若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是18例：设x、y均为正数，且12+x+12+y=13,求xy的最小值解：12+x+12+y=13, 同乘以2+x（2+y）xy=x+y+8,同理xy的最小值为161．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)A．8 B．4 C．1 D.2．(·鞍山月考)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)A．2 B．4 C．6 D．83．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)A．2 B．2 C．4 D．54．一批货品随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得不不小于2 km，那么这批货品所有运到B市，最快需要(　　)A．6 h B．8 h C．10 h D．12 h5．(·宁波月考)设x，y满足约束条件，若目的函数z＝ax＋by (a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为(　　)A. B. C. D．4二、填空题(每题4分，共12分)6．(·浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．7．(·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．8．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范畴为__________________．9． (1)已知0Q>M B．Q>P>M C．Q>M>P D．M>Q>P12． 函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均不小于0，则＋的最小值为 (　　)A．2 B．4 C．8 D．1613． 若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．1．B　[由于3a·3b＝3，因此a＋b＝1，＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝即a＝b＝时，“＝”成立．]2．B　[不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则1＋a＋＋≥a＋2＋1≥9，∴≥2或≤－4(舍去)．∴正实数a的最小值为4.]3．C　[由于＋＋2≥2＋2＝2≥4，当且仅当＝且 ＝，即a＝b＝1时，取“＝”号．]4．B　[第一列货车达到B市的时间为 h，由于两列货车的间距不得不不小于2 km，因此第17列货车达到时间为＋＝＋≥8，当且仅当＝，即a＝100 km/h时成立，因此最快需要8 h．]5．A6．18解析　由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得xy≥2＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，即()2－2－6≥0，∴(－3)·(＋)≥0.又∵>0，∴≥3，即xy≥18.故xy的最小值为。