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线性方程组的矩阵求法摘要:关键词：第一章引言矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容，用矩阵方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本技能，本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法第二章用矩阵消元法解线性方程组第一节预备知识定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程 组定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件：（1） B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的一个主元）为1；（2） B中每一主元是其所在列的唯一非零元则称矩阵为行最简形矩阵第二节1.对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩 阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初 等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论 化简线性方程组的问题这样做不但讨论起来比较方便，而且能 给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方 程组，而不必每次都把未知量写出来下面以一般的线性方程组为例，给出其解法：a x+ a x + • •• + a x=b ,ii i12 21n n1a x+ a x + • •• + a x=b ,（1）21 122 22 n n2a x+ a x + •. . + a x=bmi 1m 2 2mnn m根据方程组可知其系数矩阵为:（2）(a11a21a ...12a ...22a1na2 n\['' m1a ...m 2amn其增广矩阵为：(a11a • • •12a1nb1、（3）a21a • • •22a2 nb2Ia , ' m1a • • •m 2amnb jm根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。

定理2：设A是一个m行n列矩阵A=0,r

因此， 要求方程组（1），只需解方程组（7），但方程组（7）是否有解以 及有怎样的解很容易看出：情形（1），r

由于，…k可以任选’用这一方法可以得到（1）的无穷多解另一方面，由于（8）的任一解都必须满足（9），所以（8）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上‘2 2 2,r+1 i+1+ 2 x + 3 x + x = 5,x = —3,=8,12315240—1—3—1—232812—9—5—2134方法得到例1：解线性方程组x 12 x + 4 x1 2—x — 2 x + 3 x + 2 x4x + 2 x — 9 x — 5 x =一21.解：方程组的增广矩阵是进行初等行变换可得到矩阵最简形13对应的线性方程组是———x13把移到右边作为自由未知量，得原方程组的一般解31 ———2 x + — x , 2 2 213第三章用初等变换解线性方程组定义2：设B为mxn行最简形矩阵，按以下方法作sxn矩阵C: 对任一 i : 1 < i < s ,若有B的某一主元位于第i列，则将其所在行称 为C的第i行，否则以n维单位向量匕=(0,...,0, -1,0,...0)作为C的第 i行，称C为B的sx n单位填充矩阵(其中1 < i < s ).显然，单位填充矩阵的主对角线上的元素只能是“1”或“ -1”， 若主对角线上某一元素为“-1”，则该元素所在列之列向量称为C的 “ J一列向量”。

定义3：设B为行最简形矩阵，若B的单位填充矩阵C的任一 “ J一 列向量”均为以B为系数矩阵的齐次线性方程组：b x + b x H F b x = 0,11 1 12 2 1n nb x + b x F F b x = 0,(1) 21 1 22 2 2n n (])b x + b x F F b x = 0.m1 1 m2 2 mn n的解向量，则陈C与B是匹配的(也说B与C是匹配的)引理1：设B为行最简形矩阵，若将B的第i列与剿列交换位置所得矩阵仍为行最简形矩阵，则：(I)将的单位填充矩阵的第行与第行交换位置，第列与第列交换位置所得矩阵为单位填充矩阵，其中(II)若C与B是匹配的，则C，与B'也是匹配证明：结论(I)显然成立，下证(II),因为C与B是匹配的，故C只能是nxn矩阵，从而c，也是Ln矩阵，设以B为系数矩阵的方程组为(1),以B为系数矩阵的方程组为(1),以B为系数矩阵的方程组b' x + b' x F F b' x = 0,11 1 12 2 1n n为：(2)b' x + b' x F F b' x = 0,21 1 22 2 2n nb' x + b' x F F b' x = 0.m1 1 m2 2 mn n则由B与B'的关系可知对方程组(1)进行变量代换。

x = y ,•••x = y ’•••x = y1 1 j j n n就得到方程组(2),于是方程组(1)的任一解向量交换i、j两个分量的位置后就是方程组(2)的一个解向量，又从C与c，的关系可 知，c的任一 “ J一列向量”均可由C的某一 “ J一列向量”交换i、j 两个分量的位置后得到，从而由C与B匹配知c -与B也是匹配的引理2：任一mxn行最简形矩阵与其nxn单位填充矩阵C是匹配 的10......0bb •--b1,r 11,r 21n01...,...0bb•- b2,r 12,r 22nB00.....•1bb •-• b⑶r,r 1r,r 2rn00......000…000…...000…0n n则以为系数矩阵的齐次线性方程组为:x1x2b1, rb2, r1Xr11Xr1b1,rb2,r2Xr22Xr2…b x…b x2n n0,0,(4)xbxbX…b x0rr,r1 r1r,r2 r 2mn n而B的单位填充矩阵为：10•…••0bb ••-b1,r 11,r 21n01•…••0bb …b2,r 12,r 22nC00......1bb ••-b(5)r,r 1r,r 2rn00....••010…000•…••000…1n n其所有J一列向量为r 1 、1……,七 1, 1,0,...0)r 2《22, o, 1,・0)（b ……,b , 0, 0,…1）n 1,n r,n显然它们都是方程组（4的解，即B与C是匹配的.2,一般形式的行最简形矩阵B显然总可以通过一系列的第二类 初等列变换变换两列的位置）化为（3的形式，从而B的单位填充矩阵 C通过相应的初等行、列变换就变成矩阵^5）,由于这种变换是可递的,据引理2及引理1 (II)知B与C是匹配的。

定理3:设齐次线性方程组a x + a x 。