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斜面上只滚不滑物体的分析摘要滚动物体在斜面上只滚不滑的条件作了推导和分析从而得出了影响 物体在斜面上只滚不滑的条件的一些因素关键词：转动惯量 静摩擦系数 斜面倾角 只滚不滑Abstract:The object for only in rolling rolling not slippery con ditio nsderiveda ndthea nalysis,thusdrawsthei nflue neeThe object forrollingnot only in someof the factors of the slipperyc on diti ons.Key words: the static friction coefficient of inertia cant not on lyrollA nglea ndsmooth1问题的提出 …2均质圆柱、均值小球、均质球壳在斜面上只滚不滑时满足的条件23均质圆柱、薄壁圆筒、球壳在斜面上只滚不滑的条件 33.1均质圆柱 33.2均质薄壁圆筒 43.3均质球壳 44影响物体在斜面上只滚不滑条件的因素 4参考文献 61问题的提出假设物体与斜面间无滑动只有滚动，那么物体在斜面上只滚不滑须 满足什么条件?这些条件与那些因素有关？在现实中有哪些作用 2均质圆柱、均值小球、均质球壳在斜面上只滚不滑时满足的条 件。

例题1质量为M半径为R的均质小球沿倾角为&的粗糙斜面无滑 下滚(见图1),求静摩擦力、质心加速度以及保证小球作无滑滚动 所需最小的静摩擦力解：用f代表摩擦力，根据质心运动定理有：mgsin0 -f=ma (1)对于质心，重心的力矩等于零，只有摩擦力矩Rf,从而Rf = Ic 卩=—mR 2卩 (2)5球体上的P点同时参与两种运动：小球以质心速度V平动，和以线t速度R ®绕质心转动无滑动意味着小球于斜面的接触点P的瞬时速度为0,由此得对时间求导，得(3)由（1）（ 2）、⑶解得=—g sin 072 f = — mg sin o , a7要保证无滑动滚动，所需静摩擦力f不能大于最大静摩擦力卩N =卩mg cos 0，即^或 2f < 卩 N, mg sin 0 < 卩 mg cos 07即均质小球在斜面上只滚不滑条件为：2 '或 7卩> tg 0 , 0 < arctg -7 2由上可见，卩2 tg0wit 73均质圆柱、薄壁圆筒、球壳在斜面上只滚不滑的条件3.1均质圆柱均质圆柱对滚动轴的转动惯量/ = 1 mR2代入（2）式(4)c 2Rf = I 0 = — mR 2 0c 2由（1 ）、（ 3 ）、（ 4 ）作例题中同样的运算可得均质圆柱在斜面上 只滚不滑条件为：卩 > —tg 0 , ^或 0 < arctg 3 卩 33.2均质薄壁圆筒均质薄壁圆筒对滚动轴的转动惯量/ = mR 2代入（2）式Rf = I卩=mR 2卩 ⑸c由（1 ）、（ 3 ）、（ 5 ）作例题中同样的运算可得均质薄壁圆筒在斜面上只滚不滑条件为：6 < arctg 2 卩3.3均质球壳均质球壳对滚动轴的转动惯量/ = 2 mR 2代入（2）式c 3Rf = I P = - mR 2 卩 （6）c 3由（1 ）、（ 3 ）、（ 6 ）作例题中同样的运算可得均质球壳在斜面上只滚不滑条件为：6 < arctg影响物体在斜面上只滚不滑条件的因素（1 ）物体质量的不同分别对只滚不滑条件的影响。

由上面的 推导可知滚动物体在斜面上只滚不滑的条件是只含斜面倾角6和 静摩擦系数卩的反三角函数不等式也就是说只滚不滑的条件与 滚动物体的质量m 滚动圆形物体的半径R的大小无关当静摩 擦系数卩给定时，由上面的分析可知，物体绕转动轴的转动惯量 的变化将影响物体在斜面上只滚不滑条件为更清楚反映这种变 化，制表如下：物体绕转动轴的转动惯量只滚不滑条件均质薄壁圆筒I = mR 2c6 < arctg 2 卩均质球壳2I = — mR 2 c 3a / 5卩6 < arctg2均质圆柱1I = — mR 2 c 2e < arctg 3 卩均质小球2I = — mR 2 c 5□ / 7卩e < arctg2在表中若设各物体的质量m和半径R均相等，则均质薄壁圆 筒、均质球壳、均质圆柱、均质小球绕转动轴的转动惯量逐渐减 小，而只滚不滑条件斜面的倾角则逐渐增大对形体相同质量 分布形式相同的滚动物体，无论其质量m和半径R如何变化，只 滚不滑条件总是不变的如均质圆柱，就恒为：e < arctg 3卩2 ）当静摩擦系数f给定，由只滚不滑条件可确定斜面的倾 角e对于一指定滚动物体，滚动物体与斜面的材料的表面光洁 度一但确定，则静摩擦系数f就确定。

这时由只滚不滑条件决定 斜面倾角e的大小这个结果可在公路设计中得到应用假设汽 车有足够的动力，车轮与地面的精摩擦系数f可看成一定值那 么，公路的最大坡度e应该满足只滚不滑条件，只是这时的只滚 不滑条件要由车轮绕转动轴的转动惯量来确定3 ）斜面的倾角e —定，改变静摩擦系数f可满足只滚不滑 条件当滚动物体的转动惯量i 一定，斜面的倾角e —定，改变静c摩擦系数f可满足只滚不滑条件这个结果可在公路设计中得到 应用在公路中的一些路段，由于地形的原因大坡度e角很大， 汽车在上面行驶很容易打滑，特别是下雨天为了解决这个问题， 有意把混凝土路面拉毛以增加静摩擦系数f ,满足只滚不滑条件 在北方冬季由于气温低而使路面结冰，为了避免汽车在上面行驶 时打滑，在车轮上装上防滑链条以增加静摩擦系数f ,满足只滚不滑条件参考文献【1】 漆安镇、杜禅英，力学M】北京：高等教育出版社，1999218【2】 郝桐生、理论力学（第二版）【M】北京：人民教育出版社，1982215〜2.24。