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第一章 函数、极限、持续§1.1 函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)1. 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘 2. 在(a,b)内，若，则单调增长若，则单调减少口诀(2)：单调增长与减少；先算导数正与负例1 求解 是奇函数，∵是奇函数，∵ 因此是奇函数例2 设，则下列结论对的的是(A)若为奇函数，则为偶函数B)若为偶函数，则为奇函数C)若为周期函数，则为周期函数D)若为单调函数，则为单调函数解 (B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立证明 为奇函数，因此，为偶函数例3 设，是恒不小于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是(A) (B)(C) (D)解 ∵，∴单调减少于是xn+1>2，∴n+1=3, n=2 选(B)例3 设，则当x→0时， 是的 ( )(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小解 选(C)二、有关两个准则准则1 单调有界数列极限一定存在。

准则2 夹逼定理例1 设，证明存在，并求其值解 ∵我， (几何平均值≤算术平均值) 用数学归纳法可知n>1时，，∴ 有界又当n>1时， ，，，则单调增长根据准则1，存在把两边取极限，得 (舍去) 得 ， ∴口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；两边极限一起上；方程之中把值找例2 求解 令，则0

口诀(6)：冪指函数最复杂；指数、对数一起上而上面三种类型化为,这时一定是“0·∞”型再用第二层次的措施解决即可例 =例1 求解 原式=======例2 设函数持续，且，求解 原式=(分母令)= (用积分中值定理)=(ξ在0和x之间)=.口诀(7)：变限积分是函数；遇到之后先求导公式： (当持续时)例3 高a>0,b>0常数，求解 先考虑它是“”型令 令型=因此， 于是， 口诀(8) 离散数列“洛必达”；先要转化持续型五、求分段函数的极限例 求解 ∴ 口诀(9)：分段函数分段点；左右运算要先行六 用导数定义求极限例 设曲线与在原点相切，求解 由题设可知， 于是 七 用定积分定义求极限公式： (持续)例1 求分析 如果还想用夹逼定理中措施来考虑而， 由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑解 =例2 求解 ∵ 而 由夹逼定理可知， 口诀(10)：数列极限逢绝境；转化积分见光明八、求极限的反问题例1 设，求a和b.解 由题设可知，∴1+a+b=0再对极限用洛必达法则 例2、 设在(0，+∞)内可导， >0， 且满足，求解： 先用冪指函数解决措施再用导数定义 取， 于是这样 因此 再由，可知C=1，则§1.3 持续一、持续与间断例1 设，在内有定义，为持续，且，有间断点，则下列函数中必有间断点为(A) (B)(C) (D)解：(A)，(B)，(C)不成立可用反例，,(D)成立 可用反证法：假若否则没有间断点，那么为两个持续函数乘积，一定持续故矛盾，因此一定有间断点例2 求的间断点，并鉴别其类型。

解 ，考虑 ∴ 可见为间断点,是可去间断点，其他皆为第二类间断点二、闭区间上持续函数的性质（重点为介值定理及其推论）例1 设在上持续，且，，证明存在，使得证 令，则在上持续， ，根据介值定理推论，存在使，即证例2 设在上持续，且，求证：存在，使证 ∵在上持续，故有最大值M和最小值m，于是根据介值定理，存在使 ∴.口诀（11）：函数为零欲论证；介值定理定乾坤。