概率统计1章ppt课件.ppt

概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲：主讲： 张张 伟伟In each fields we must carefully distinguished three aspects of theory, •(a) the formal logical content, •(b) the intuitive background, •(c) the application. The character, and the charm, of the whole structure cannot be appreciated without considering all three aspects in their proper relation. Feller(费勒):A Course in Probability Theory （Academic Press， New York）威廉威廉.费勒（费勒（1906-1970）：）：20世纪最伟世纪最伟大大的概率学者之一，师从希尔伯特和柯朗的概率学者之一，师从希尔伯特和柯朗.（（1）公理化体系；）公理化体系；（（2）直观的历史背景；）直观的历史背景；（（3）现实应用；）现实应用；概率论与数理统计论理论概率论与数理统计论理论概率论与数理统计中的那些事儿概率论与数理统计中的那些事儿故事故事1：：故事发生在十七世纪中叶，法国贵族德故事发生在十七世纪中叶，法国贵族德·美美黑热衷于赌博，经常遇到赌资分配问题。

他曾写信向黑热衷于赌博，经常遇到赌资分配问题他曾写信向当时法国的大数学家当时法国的大数学家Pascal 请教问题：请教问题： 假如一场比赛中先胜假如一场比赛中先胜6局才算赢，两个赌徒在局才算赢，两个赌徒在一人胜五局，另一人胜两局的情况下中断赌博，一人胜五局，另一人胜两局的情况下中断赌博，如何分配赌金？如何分配赌金？故事故事2：贝特朗奇论：贝特朗奇论Bertrand问题是在一个单位圆周上随机的任取一根弦，问题是在一个单位圆周上随机的任取一根弦，求其长度大于内接等边三角形边长的概率求其长度大于内接等边三角形边长的概率将弦的一端将弦的一端A固定在单位圆固定在单位圆上，随机的在单位圆周上取上，随机的在单位圆周上取另一个点另一个点B，连接成弦，如，连接成弦，如图图1所示，满足长度大于单所示，满足长度大于单位圆内接等边三角形边长的位圆内接等边三角形边长的弦的点落在弧段弦的点落在弧段 上上 ，，因此弦大于内接等边三角形边长的概率为因此弦大于内接等边三角形边长的概率为解法一解法一故事故事2：贝特朗奇论：贝特朗奇论Bertrand问题是在一个单位圆周上随机的任取一根弦，问题是在一个单位圆周上随机的任取一根弦，求其长度大于内接等边三角形边长的概率。

求其长度大于内接等边三角形边长的概率设定弦垂直于某直径，先取设定弦垂直于某直径，先取定一条直径定一条直径 ，然后在，然后在直径上随机的选取点直径上随机的选取点 ，过，过点作垂直于的弦如图点作垂直于的弦如图2，，因此弦大于内接等边三角形边长的概率为因此弦大于内接等边三角形边长的概率为解法二解法二故事故事3：估计问题：估计问题假定一个盒子中有白、黑球共假定一个盒子中有白、黑球共3个，但不知各有几个，个，但不知各有几个，如果有放回的抽取如果有放回的抽取3次球，发现第次球，发现第1，，3次是黑球，第次是黑球，第2次次是白球，试估计黑球所占的比例？是白球，试估计黑球所占的比例？课程的主要内容课程的主要内容第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征概率论部分（概率论部分（36学时）学时）第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理课程的主要内容课程的主要内容数理统计数理统计（（12学时）学时）第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布第七章第七章 参数估计参数估计第八章第八章 假设检验假设检验内容概括为如下关键词内容概括为如下关键词•Stochastic Variable（随机变量）（随机变量）•Classical model（古典概型）（古典概型）•Characters（数字特征）（数字特征）•Evaluation（估计）（估计）•Distributions（概率分布）（概率分布）第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率•随机试验与随机事件随机试验与随机事件•随机事件的关系及运算随机事件的关系及运算•频率与概率频率与概率•等可能概型等可能概型•条件概率条件概率•事件的独立性事件的独立性第一节第一节 随机试验与随机事件随机试验与随机事件•随机试验随机试验•随机事件与样本空间随机事件与样本空间一、随机试验一、随机试验对随机现象进行观察的试验，具有以下特点：对随机现象进行观察的试验，具有以下特点：•可以在相同的条件下重复进行；可以在相同的条件下重复进行；•试验的可能结果不止一个，并且在试验前能预先知道全试验的可能结果不止一个，并且在试验前能预先知道全部可能结果；部可能结果；•在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。

在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现例如例如E8 炮弹发射试验炮弹发射试验不能预先准确知道命中位置不能预先准确知道命中位置.二、随机事件与样本空间二、随机事件与样本空间定义定义1: 随机试验随机试验E的所有可能结果组成的集合称为的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间的样本空间,记为记为 S ,样本空间的元素样本空间的元素,即即E的每个结果，的每个结果，称为样本点称为样本点,记为记为e1. 样本空间样本空间例例1：：将一枚硬币连抛三次将一枚硬币连抛三次1) 观察正反面出现的情况观察正反面出现的情况,2) 观察正面出现的次数观察正面出现的次数,注意：注意：样本空间的元素是由试验目的所决定的样本空间的元素是由试验目的所决定的{HHH,HHT……} S S1 1 ={0,1,2,3} S S2 2 2. 随机事件随机事件定义定义2 样本空间中的子集称为随机事件，简称事件，样本空间中的子集称为随机事件，简称事件， 一般记为一般记为 A, B, C等A — 点数之和为点数之和为7 , ,例例2：抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数，：抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数，Ω={(1,1),(1,2) Ω={(1,1),(1,2) ……,(6,6)},(6,6)}A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}注：随机事件本质上就是集合注：随机事件本质上就是集合.•基本事件：基本事件： 一个样本点组成的单点集一个样本点组成的单点集(试验试验E的每个的每个可能结果）可能结果）如：如：有两个基本事件有两个基本事件 { H } 和和 { T }•必然事件必然事件：： 每次试验中必然发生的事件每次试验中必然发生的事件,记为记为 S S。

•不可能事件不可能事件：： 每次试验一定不发生的事件每次试验一定不发生的事件,记记事件事件A发生发生A中的某一个样本点在试验中出现中的某一个样本点在试验中出现•事件间的关系事件间的关系•事件的运算事件的运算第二节第二节 事件间的关系及其运算事件间的关系及其运算一、事件间的关系一、事件间的关系•事件间的关系：包含关系、等价关系，对立关系、事件间的关系：包含关系、等价关系，对立关系、互斥关系互斥关系.•包含关系包含关系A发生必然导致发生必然导致B发生发生.事件事件B包含包含事件事件A，，即即A与与B相等相等，，记为记为 A=B•等价关系等价关系•互斥关系互斥关系，，则称则称A,B为为互不相容事件，即互不相容事件，即AB不能不能同时发生同时发生•对立关系对立关系且且，，则称事件则称事件A与与B互为逆事件互为逆事件或互为对立事件或互为对立事件 A的对立事件记为的对立事件记为,=S S-A二、事件间的运算二、事件间的运算•事件间的运算：和事件、积事件和差事件事件间的运算：和事件、积事件和差事件.•事件的和事件的和A和和B的和事件的和事件表示表示A与与B中至少有一个发生，即：中至少有一个发生，即：A与与B中至少有一个发生时，中至少有一个发生时，发生。

发生•事件的积事件的积表示事件表示事件A和和B同时发生，同时发生， 即：即：且且A与与B的积事件的积事件当且仅当当且仅当A与与B同时发生时，同时发生时，通常简记为通常简记为AB•事件的差事件的差A-B 表示事件表示事件A发生但事件发生但事件B不发生不发生但但A与与B的差事件的差事件三、事件的运算法则三、事件的运算法则①①交换律交换律；；②②结合律结合律③③分配律分配律④④德德·摩根律：摩根律：；；推广推广：：;①①，，，，，，则则，，设设②②③③注：事件的一些关系式注：事件的一些关系式例例1.设设A,B,C 表示三个事件表示三个事件, 试表示下列事件试表示下列事件(1) A 发生发生, B 与与C 不发生不发生(2) A 与与B 发生发生, C 不发生不发生(3) A, B 与与C 都发生都发生(4) A, B 与与C 至少有一个发生至少有一个发生(5) A, B 与与C 全不发生全不发生(6) A, B 与与C 至少有两个发生至少有两个发生 例例2 2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道道 1 1，，2 2，，3 3 组成。

每个水源都可以供应城市的用水每个水源都可以供应城市的用水 设事件设事件 Ak 表示第表示第 k 号管道正常工作，号管道正常工作，k=1，，2，，3 B 表示表示“城市能正常供水城市能正常供水”，， 城市城市甲甲乙乙123解：解：试用试用表示表示•概率的统计定义概率的统计定义 •频率频率 第三节 频率与概 率•概率的公理化定义概率的公理化定义 1.定义定义 : 设设 E, S S , A为为E中中某一事件，在相同条件进行某一事件，在相同条件进行n次独立重复试验，事件次独立重复试验，事件A发生的次数记为发生的次数记为称为称为A的的频率频率frequency)一、频率一、频率则比值则比值2. 性质：性质：0≤≤1若若两两互不相容两两互不相容结论：结论：当当n n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；较小时，频率呈偶然性，波动性很大；随着随着n n的增加，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近的增加，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近 历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过大量掷硬币的试验，所得结果如下：大量掷硬币的试验，所得结果如下：试验者试验者蒲丰蒲丰皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊次数次数正面的次数正面的次数正面的频率正面的频率404020480.50691200060190.501624000120120.5005频 率 稳 定 值 概率 事件发生事件发生的频繁程度的频繁程度事件发生事件发生的可能性的大小的可能性的大小频率的性质概率的公理化定义这种称为频率稳定性，也就是通常所说的统计规律性，，频率稳定值即概率的统计定义。

二、概率（概率的公理化定义）二、概率（概率的公理化定义）1.定义定义 设设 E, S S ,对于对于E的的每一事件每一事件A，，赋予一个实数，赋予一个实数，记为记为P(A),称为事件称为事件A的概率的概率,如果如果P( · )满足以下三个公理：满足以下三个公理：⑴⑴ 非负非负性：性：⑵⑵ 规范性：规范性：⑶⑶ 可可列可加列可加性：性：2. 计算公式计算公式 设设两两互不相容，则两两互不相容，则（（1）有限可加性）有限可加性如果如果则则证明：证明： 且且 A 和和 B－－A互不相容互不相容注：两个重要的推论注：两个重要的推论≤如果如果则则• 保号性：保号性：• 减法公式：减法公式：证明：证明：加法公式加法公式（（3））（（4）求逆公式）求逆公式推广：推广：例例1【【解解】】典型例题分析典型例题分析一、利用公式求解事件的概率一、利用公式求解事件的概率例例2 2 某人外出旅游两天，据天气预报知：某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的第一天下雨的概率为概率为0.60.6，第二天下雨的概率为，第二天下雨的概率为0.30.3，两天都下雨的概，两天都下雨的概率为率为0.10.1，试求下列事件的概率：，试求下列事件的概率：(2) 第一天不下雨，第二天下雨；第一天不下雨，第二天下雨；(1) 第一天下雨，第二天不下雨；第一天下雨，第二天不下雨；(3) 至少有一天下雨；至少有一天下雨；(4) 至少有一天不下雨。

至少有一天不下雨【【解解】】设设A—第一天下雨，第一天下雨，B—第二天下雨第二天下雨则则(1)(2)(3)(4)分析：分析： 首先假设事件，对欲求事件进行表示，再利用首先假设事件，对欲求事件进行表示，再利用概率计算公式求解概率计算公式求解例例3 3 已知已知求求 A,B,C A,B,C 中至少有一个发生的概率中至少有一个发生的概率. .【【解解】】二、利用概率性质求解事件的概率二、利用概率性质求解事件的概率【【解解】】三、已知事件间的关系，求解事件的概率三、已知事件间的关系，求解事件的概率 故事发生在十七世纪中叶，法国贵族德故事发生在十七世纪中叶，法国贵族德··美黑热衷美黑热衷于赌博，经常遇到赌资分配问题他曾写信向当时法国于赌博，经常遇到赌资分配问题他曾写信向当时法国的大数学家的大数学家Pascal 请教问题：请教问题： 假如一场比赛中先胜假如一场比赛中先胜6局才算赢，两个赌徒在一人局才算赢，两个赌徒在一人胜五局，另一人胜两局的情况下中断赌博，如何分配胜五局，另一人胜两局的情况下中断赌博，如何分配赌金？赌金？ Pascal 和当时第一流的数学家和当时第一流的数学家 Fermat 一起研究了一起研究了此问题，得到正确的解答此问题，得到正确的解答：：15 : 1.依据依据 3））其中仅有第一个赌徒四局皆输，其中仅有第一个赌徒四局皆输， 第二个赌徒才可能赢第二个赌徒才可能赢.解解：： 1））设想再进行设想再进行4 局比赛即一定可结束局比赛即一定可结束；； 2））共有共有24 种可能情况，每一种情况出现是等可能的种可能情况，每一种情况出现是等可能的. 16种可能情况中种可能情况中, ,仅有仅有““第一个赌徒四局皆输第一个赌徒四局皆输””一种情况有利于第二个赌徒，故一种情况有利于第二个赌徒，故P1 =15/16, P1 =1/16 15 : 1结论结论: :第四节第四节 等可能概型等可能概型•排列与组合初步排列与组合初步•等可能概型的定义等可能概型的定义•计算方法计算方法一、排列与组合一、排列与组合1、乘法原理、乘法原理 若进行若进行A1过程有过程有n1 种方法，若进行种方法，若进行A2过程有过程有n2 种种方法，方法，则则进行进行A A1 1过程或进行过程或进行A A2 2 过程的有过程的有n1*n2 种方法。

种方法2、加法原理、加法原理 若若进行进行A1过程有过程有n1 种方法，进行种方法，进行A2过程有过程有n2 种方种方法，假定法，假定A1过程与过程与A2 过程是并行的，则进行过程是并行的，则进行A1过程过程或进行或进行A2 过程的有过程的有种方法 3 3、、排列排列 从包含有从包含有n 个元素的总体中取出个元素的总体中取出 k 个进行排个进行排列，这时既要考虑取出的元素，也要顾及其取出的顺列，这时既要考虑取出的元素，也要顾及其取出的顺序，这种排列可分为两种：序，这种排列可分为两种：1）） 有放回的选取有放回的选取 从从 n 个元素中取出个元素中取出 k 个进行排列个进行排列, 其其排列总数共有排列总数共有nk 种种此为此为选选排列排列特别当特别当 k = n 时，称为时，称为全排列全排列 n 个元素的全排列数为：个元素的全排列数为：2）） 无放回的选取无放回的选取从从 n 个元素中取出个元素中取出 k 个进行排列个进行排列, 由于取后不放回，由乘法原理可知，其总数为由于取后不放回，由乘法原理可知，其总数为4 组合组合 从从 n 个元素中取出个元素中取出 k 个元素进行排列（不个元素进行排列（不考虑其顺序）称为考虑其顺序）称为组合。

组合其总数为：其总数为：•小试牛刀小试牛刀1. 有三张参观卷，要在有三张参观卷，要在5人中确定人中确定3人去参观，不人去参观，不同方法的种数是同方法的种数是_________.2. 要从要从5件不同的礼物中送出件不同的礼物中送出3件分送件分送3位同学，位同学，不同的不同的 方法种数是方法种数是________.3. 5名工人要在名工人要在3天中各自选天中各自选1天休息，不同方天休息，不同方法的种数是法的种数是_______.4.集合集合A中有中有m个元素，集合个元素，集合B中有中有n个元素，从个元素，从两个集合中各取两个集合中各取1个元素，不同的方法种数是个元素，不同的方法种数是______5.答案（答案（1））10；（；（2））60；（；（3））243；；（（4））mn1.定义定义：：具有以下两个条件的随机试验称为具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型等可能概型有限性有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个；试验的样本空间中的元素只有有限个；等可能性等可能性 每个基本事件的发生的可能性相同每个基本事件的发生的可能性相同等可能概型也称为等可能概型也称为古典概型古典概型。

二、等可能概型二、等可能概型2.计算公式：计算公式：①① ②② 若事件若事件A包含包含k个基本事件，即个基本事件，即则有则有典型例题分析典型例题分析1、盒中摸球模型；、盒中摸球模型；2、质点装盒模型；、质点装盒模型；3、随机取数模型；、随机取数模型；例例1 1 6 6只不同球只不同球(4(4白白2 2红红) )，从袋中依次取两球，观察其，从袋中依次取两球，观察其颜色分别做分别做 a.a.有放回抽样有放回抽样 b.b.不放回抽样，求下列事件的概率：不放回抽样，求下列事件的概率：(1) “取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球” (2) “取到的两只球颜色相同取到的两只球颜色相同”(3) “取到的两只球中至少有一个是白球取到的两只球中至少有一个是白球” 解解 a.有放回有放回 (1)(2)(乘法原理乘法原理)S ：：6×6=36(3)表示表示“两只都是红球两只都是红球”，，例例1 1 6 6只不同球只不同球(4(4白白2 2红红) )，从袋中依次取两球，观察其，从袋中依次取两球，观察其颜色分别做分别做 a.a.有放回抽样有放回抽样 b.b.不放回抽样，求下列事件的概率：不放回抽样，求下列事件的概率：(1) “取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球” (2) “取到的两只球颜色相同取到的两只球颜色相同”(3) “取到的两只球中至少有一个是白球取到的两只球中至少有一个是白球” 解解 a.有放回有放回 (1)(2)(乘法原理乘法原理)S ：：6×6=36(3)表示表示“两只都是红球两只都是红球”，，(1)(2)(3)b.无放回无放回(考虑先后顺序考虑先后顺序)(乘法原理乘法原理)Ω ：：6×5=30思考：思考：如果不考虑先后顺序呢？如果不考虑先后顺序呢？ 例例2 2：（抽签模型）：（抽签模型） 袋中有袋中有5050个乒乓球，其中个乒乓球，其中2020个个是黄球，是黄球，3030个是白球，今有两人依次随机地从袋中个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第各取一球，取后不放回，则第2 2个人取到黄球的概率个人取到黄球的概率是是_____._____. 【【解解】】应填应填例例3 3：四名优等生随机保送三所学校去，每所学校：四名优等生随机保送三所学校去，每所学校至少得一名的优等生的概率为至少得一名的优等生的概率为______.______.【【解解】】四名优等生保送三所学校的方案总数为四名优等生保送三所学校的方案总数为每所学校至少有一名优等生的方案总数为每所学校至少有一名优等生的方案总数为于是每所学校至少有一名优等生的概率为于是每所学校至少有一名优等生的概率为例例4：：(生日问题生日问题) 设每个人的生日在一年设每个人的生日在一年365天中的任天中的任一一天是等可能的天是等可能的,即都等于即都等于,那么随机选取那么随机选取n(≤365)人。

人1) 他们的生日各不相同的概率为多少？他们的生日各不相同的概率为多少？(2) n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？解解 (1) 设设 A= “n个人的生日各不相同个人的生日各不相同”(2) 设设 B = “n个人中至少有两个人生日相同个人中至少有两个人生日相同”当当 n 等于等于64时，在时，在64人的班级中，人的班级中，B发生的概率发生的概率接近于接近于1，即，即 B几乎几乎 总是会出现总是会出现第四节第四节 条件概率条件概率•条件概率条件概率•乘法公式乘法公式•全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式引例引例:取一副牌取一副牌,随机的抽取一张随机的抽取一张,问问:(1) 抽中的是抽中的是k的概率的概率;(2) 若已知抽中的是红桃若已知抽中的是红桃,问抽中的是问抽中的是k的概率解：解： A ——抽中的是红桃抽中的是红桃, B ——抽中的是抽中的是k(1)(2)上述式子具有普遍性吗上述式子具有普遍性吗?一一 条件概率条件概率1、、定义定义设设 A，，B为两事件，且为两事件，且则称则称为事件为事件A发生条件下事件发生条件下事件B发生的发生的条件概率条件概率。

注：条件概率的标示词：注：条件概率的标示词：“如果如果”、、“当当”、、“已知已知”等等.(3)设设是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件则则条件概率条件概率满足概率公理化定义中的三个公理满足概率公理化定义中的三个公理:注：条件概率类似加法公式、减法公式和求逆公式注：条件概率类似加法公式、减法公式和求逆公式2、、性质性质互斥，且互斥，且是随机事件，是随机事件，则则（（1）直接利用定义求解）直接利用定义求解例例1：设：设【【解解】】充分利用事件间的关系与条件概率的定义求解充分利用事件间的关系与条件概率的定义求解.3、、典型例题分析典型例题分析互斥，则互斥，则由保号性可知：由保号性可知：（（2 2）缩减样本空间法）缩减样本空间法例例2 2：设：设1010件产品中有件产品中有4 4件不合格，从中任取两件，已知件不合格，从中任取两件，已知所取两件中至少有一件不合格，则另一件不合格的概率所取两件中至少有一件不合格，则另一件不合格的概率为为________.________.【【解解】】事件事件A A 为两件中至少有一件不合格取法数有为两件中至少有一件不合格取法数有在事件在事件A A 发生的条件下，另一件仍不合格事件即为发生的条件下，另一件仍不合格事件即为取出两件产品都不合格，则取法数共有取出两件产品都不合格，则取法数共有所以所求概率为所以所求概率为解法二：定义法解法二：定义法 则由则由已知得已知得（（3 3）条件概率的性质）条件概率的性质答案：应选答案：应选（（B B））定理定理:设设，，则有则有推广推广: 若若，，则有则有或或二、乘法公式二、乘法公式推广到推广到n个事件，如果个事件，如果则有则有（（2 2）如果取到一个合格品就不再取下去，求在）如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 3次次内内取到合格品的概率。

取到合格品的概率 （（1）若依次抽取）若依次抽取3次次, 求第求第3次才抽到合格品的概率；次才抽到合格品的概率；“第第 次抽到合格品次抽到合格品”【【解解】】 设设一批零件共一批零件共100件件, 其中有其中有10 件次品件次品, 每次从其中任每次从其中任取取一个零件，取后不放回试求：一个零件，取后不放回试求：例例4.（（1））2) 设“三次内取到合格品”则且互不相容设一个班中设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影名学生采用抓阄的办法分一张电影票票,问各人获得此票的机会是否均等？问各人获得此票的机会是否均等？解解 设设“第第 名学生抓到电影票名学生抓到电影票”i=1,2,…,30例例5、、同理同理,第第i个人要抓到此票个人要抓到此票,他前面的他前面的i-1个人都没抓到此个人都没抓到此票票三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式定义定义:(1)(2)则称则称注：注：（（1）对每次试验，）对每次试验，1、全概率公式、全概率公式定理：定理：随机试验随机试验E的样本空间为的样本空间为A为为E的事件，的事件，则有则有证证:两两互不相容两两互不相容全概率公式的难点全概率公式的难点（（2 2）难点）难点 需要根据具体情况需要根据具体情况构造一组完备事件组构造一组完备事件组。

事件事件B B 和和构成一个划分，于是可得构成一个划分，于是可得（（1 1）适用范围）适用范围 前提未知前提未知或者或者前一步骤未知前一步骤未知情况下，求事件的概率；情况下，求事件的概率；（（3 3）最简单的形式）最简单的形式例例6、、 假设有甲、乙两袋，甲袋中有假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球个白球2个红球，乙个红球，乙再从再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？【【分析分析】】第一次取球未知：红球或白球；第一次取球未知：红球或白球； 袋中有袋中有2个红球个红球3个白球，今从甲中任意取一只放入乙中，个白球，今从甲中任意取一只放入乙中，=【【解解】】 设设 A —从乙中取到白球，从乙中取到白球， B —从甲中取到白球从甲中取到白球 例例7、、 从数从数1,2,3,4中任取出一个数中任取出一个数 X，再从，再从1,---, X中任取一中任取一【【解解】】 第一次取数第一次取数X未知未知:{X=1},{X=2},{X=3},{X=4}个数，记为个数，记为Y，则，则P{Y=2}=_______.=运用全概率运用全概率公式计算公式计算P(A)2、、 贝叶斯公式贝叶斯公式定理：定理：设设随机试验随机试验E的样本空间为的样本空间为S S , A为为E的任意的任意一个事件一个事件,为为S S 的一个划分的一个划分, 且且则则，称此式为，称此式为贝叶斯公式贝叶斯公式。

贝叶斯公式的难点贝叶斯公式的难点（（2 2）难点）难点 条件概率条件概率与与全概率公式全概率公式的应用；的应用；（（1 1）适用范围）适用范围 由果溯因的问题由果溯因的问题，求条件概率；，求条件概率；（（3 3）最简单的形式）最简单的形式例例8：设：设某某工厂甲工厂甲, 乙乙, 丙丙 3 个车间生产同一种产品个车间生产同一种产品, 产产量量依次占全厂的依次占全厂的45％％, 35％％, 20％％, 且各车间的合格品率为且各车间的合格品率为0.96, 0.98, 0.95, 现在从待出厂的产品中检查出现在从待出厂的产品中检查出1个次品个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？【【解解】】分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产， 设设 A 表示表示“任取一件产品为次品任取一件产品为次品”由由题意得题意得由由贝叶斯贝叶斯公式公式所以该产品是甲车间生产的可能性最大所以该产品是甲车间生产的可能性最大用用全概率公式全概率公式求求得得A-A-某种临床试验呈阳性某种临床试验呈阳性; ;B-B-被诊断者患有癌症被诊断者患有癌症. .例例9:9:根据以往的临床纪录，癌症患者某项实验呈阳性根据以往的临床纪录，癌症患者某项实验呈阳性的概率为的概率为0.950.95，而正常人该试验成阴性的概率为，而正常人该试验成阴性的概率为0.950.95，，已知常人患癌症概率为已知常人患癌症概率为0.0050.005，现对自然人群进行普查，，现对自然人群进行普查，如果某人试验呈阳性，求他患癌症的概率有多大？如果某人试验呈阳性，求他患癌症的概率有多大？【【解解】】由题意已知由题意已知: :【【解解】】设事件设事件A A表示表示““作弊成功作弊成功””, ,事件事件B B 表示表示““严格监考严格监考””例例1010 考试监考问题，设如果严格监考，作弊成功的概率考试监考问题，设如果严格监考，作弊成功的概率为为1 1％，如果不严格监考，则作弊成功的概率为％，如果不严格监考，则作弊成功的概率为1515％，某％，某学校严格监考的概率为学校严格监考的概率为0.70.7，求，求（（1 1）学生作弊成功的概率）学生作弊成功的概率; ;（（2 2）如果某次考试有学生作弊成功，求该考试监考不严）如果某次考试有学生作弊成功，求该考试监考不严格的概率。

格的概率由题意由题意（（1））学生作弊成功的概率学生作弊成功的概率（（2 2））如果某次考试有学生作弊成功，该考试监考不严如果某次考试有学生作弊成功，该考试监考不严格的概率为格的概率为例例11.设有两箱同种的产品，第一箱中装有设有两箱同种的产品，第一箱中装有50件产品，件产品，其中其中10件次品；第二箱内装有件次品；第二箱内装有30件产品，其中件产品，其中18件次件次品，先从两箱中挑出一箱，然后从该箱中依次不放回品，先从两箱中挑出一箱，然后从该箱中依次不放回的抽取两件产品，试求的抽取两件产品，试求（（1）先取出次品的概率；）先取出次品的概率；（（2）在先取出次品的条件下，第二次取出的仍为次品）在先取出次品的条件下，第二次取出的仍为次品的概率的概率.【【解解】】 设设为抽取两件产品来自第为抽取两件产品来自第 j 箱，箱，j = 1, 2;为第为第 i 次取出次品，次取出次品，i= 1, 2;（（1））先取出次品的概率先取出次品的概率又因为又因为（（2））在先取出次品的条件下，第二次取出的仍为次品在先取出次品的条件下，第二次取出的仍为次品的概率的概率则：则：第五节第五节 事件的相互独立性事件的相互独立性•独立性的定义独立性的定义•伯努利概型伯努利概型1.两个事件相互独立两个事件相互独立 定义定义1：：设设A、、B是两个事件，如果有如下等式成立是两个事件，如果有如下等式成立则称则称事件事件A、、B相互独立相互独立。

一一 、独立性、独立性 注：事件的独立即积事件的概率为事件概率的乘积注：事件的独立即积事件的概率为事件概率的乘积 定理：定理：设设 A、、B是两个事件是两个事件⑴⑴ 若若，则，则A、、B 相互独立的充分必要条件相互独立的充分必要条件为为证明：证明：相互独立,则有由乘法公式由乘法公式必要性必要性充分性充分性注：注： 事件事件A、、B 相互独立的充分必要条件相互独立的充分必要条件证明：证明： 其余同理可证其余同理可证⑵⑵ 若若A、、B 相互独立相互独立, 证明：证明： 若若A、、B互不相容，则互不相容，则若若 A、、B 独立，独立， ，故，故A、、B不可能互不相容不可能互不相容3)(3)时时,互不相容与相互独立不可能互不相容与相互独立不可能同时成立同时成立当当则则而而所以：所以： A、、B 不是相互独立不是相互独立.则则因为因为注：区别一对概念：互斥与独立注：区别一对概念：互斥与独立.2. 2. 多个事件的相互独立性多个事件的相互独立性若若下面四个等式同时成立下面四个等式同时成立定义：定义：则称则称A, B, C相互独立相互独立，，如果只有前三个等式成立，则称如果只有前三个等式成立，则称A, B, A, B, C C 两两独立两两独立。

注：注：A A, ,B B, ,C C 相互独立相互独立两两独立两两独立推广：推广：……………同时成立，同时成立，性质：性质：(1) 其中任意其中任意k个事件也相互独立个事件也相互独立;若若n个事件相互独立个事件相互独立(2) 其中任意其中任意k个事件的逆事件与其余的事件组成的个事件的逆事件与其余的事件组成的n个个(3) 事件仍然相互独立事件仍然相互独立分别对两组分别对两组事件做和（并）、差、积（交）、逆运算，事件做和（并）、差、积（交）、逆运算，（（3））将将 n 个事件分成两组个事件分成两组1.1.（（4 4）） 至少有一个事件发生的概率为至少有一个事件发生的概率为1.结果仍相互独立结果仍相互独立典型例题分析典型例题分析1.1.事件独立性判断事件独立性判断【【解解】】法一：定义法法一：定义法通分化简可得：通分化简可得：法二：公式法法二：公式法代入代入由条件概率求逆公式可得由条件概率求逆公式可得得得所以事件所以事件A，，B 相互独立相互独立.例例2: 将一枚硬币抛掷两次，设事件将一枚硬币抛掷两次，设事件A1为掷第一次正面，为掷第一次正面，A2为掷第二次正面为掷第二次正面，，A3为正反面各出现一次为正反面各出现一次，，A4正面正面出现两次，则事件出现两次，则事件解：解： 应选（应选（C））由定义可得：由定义可得：2.2.独立性的性质独立性的性质解：应选（解：应选（B））由于由于A,B,C是三个相互独立的随机事件，则其中任意两是三个相互独立的随机事件，则其中任意两个事件的和（并）、差、积（交）、逆与另一事件或其个事件的和（并）、差、积（交）、逆与另一事件或其逆是相互独立的，根据这一性质可知应选逆是相互独立的，根据这一性质可知应选(B).例例3 3：：设设A A, ,B B, ,C C 是三个相互独立的随机事件，是三个相互独立的随机事件，0<0