椭圆知识点总结.doc

椭圆知识点知识要点小结:知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距　注意：若,则动点的轨迹为线段；　　　　　若，则动点的轨迹无图形.知识点二:椭圆的标准方程　　1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中2．当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程;　　2．在椭圆的两种标准方程中,都有和；　　3．椭圆的焦点总在长轴上当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，知识点三：椭圆的简单几何性质　　椭圆：的简单几何性质（1）对称性:对于椭圆标准方程:说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心2)范围:椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，.（3）顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ，,,　　 ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,.和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4）离心率：　　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作　　②因为,所以的取值范围是越接近1，则就越接近，从而越小,因此椭圆越扁；反之,越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆 当且仅当时，,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为.注意:　　椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：(1）；；；　　（2)；;;　　（3);；；知识点四：椭圆 与 的区别和联系标准方程 图形性质焦点，，焦距 范围，,对称性关于轴、轴和原点对称顶点,，轴长长轴长=，短轴长= 离心率准线方程焦半径，，注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同;参数间的关系都有和，;不同点：两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同.规律方法： 1．如何确定椭圆的标准方程？ 　　任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式.此时，椭圆焦点在坐标轴上.确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件;一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型 2．椭圆标准方程中的三个量的几何意义　　椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。

分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且.可借助右图理解记忆: 　 　　　显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上4．方程是表示椭圆的条件方程可化为,即,所以只有A、B、C同号，且AB时,方程表示椭圆当时，椭圆的焦点在轴上;当时，椭圆的焦点在轴上5．求椭圆标准方程的常用方法: ①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值其主要步骤是“先定型,再定量”；　　②定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点,则c相同与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据： ① 若把曲线方程中的换成,方程不变,则曲线关于轴对称；② 若把曲线方程中的换成,方程不变，则曲线关于轴对称;③ 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变,则曲线关于原点对称。

8．如何求解与焦点三角形△PF1F2(P为椭圆上的点）有关的计算问题? 思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题将有关线段,有关角 ()结合起来，建立、之间的关系. 9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化离心率,因为，,用表示为显然:当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆.（一）椭圆及其性质1、椭圆的定义（1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于｜F1 F2｜）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.（2）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数就是离心率2、椭圆的标准方程3、椭圆的参数方程4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 椭圆的准线方程左准线 右准线（二）、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式：（左焦半径） (右焦半径） 其中是离心率 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式: （ 其中分别是椭圆的下上焦点）（三）、直线与椭圆问题(韦达定理的运用）1、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则 弦长 例1。

已知椭圆及直线y＝x＋m.（1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围;（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程2、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆＋＝1(a>b>0）的一条弦，中点M坐标为(x0,y0)，则AB的斜率为－.运用点差法求AB的斜率,设A（x1，y1），B（x2，y2)．A、B都在椭圆上，∴两式相减得＋＝0，∴＋＝0，即＝－＝－故kAB＝－.例、过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程四）、四种题型与三种方法四种题型1：已知椭圆C:内有一点A（2，1）,F是椭圆C的左焦点,P为椭圆C上的动点,求|PA｜+｜PF｜的最小值2： 已知椭圆内有一点A（2,1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求｜PA｜+｜PF｜的最大值与最小值3:已知椭圆外一点A（5，6），l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，求｜PA|+的最小值4：定长为d(）的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动,求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离.三种方法1：椭圆的切线与两坐标轴分别交于A,B两点， 求三角形OAB的最小面积 2：已知椭圆 和直线 l:x—y+9=0 ,在l上取一点M ，经过点M且以椭圆的焦 点为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。

3：过椭圆的焦点的直线交椭圆A，B两点 ，求面积的最大值 课后同步练习1椭圆的焦点坐标是 ， 离心率是________,准线方程是_________已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点,则△MNF2的周长为（ )A．8 B．16 C．25 D．323椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）A5 B.6 C4 D已知椭圆方程为,那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C3 D如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A.（0,+∞） B.（0,2） C1，+∞） D.(0，1） 6．设为定点，｜｜=6，动点M满足，则动点M的轨迹是（ ）A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 7.已知方程+=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为 。

8.已知椭圆的两个焦点坐标是F1（—2，0），F2(2，0），并且经过点P（），则椭圆标准方程是__ ___9.过点A（—1,-2)且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是__ __ 10过点P（，-2),Q（-2，1）两点的椭圆标准方程是_ __ ___11若椭圆的离心率是，则k的值等于 已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是 13.F1、F2分别为椭圆+=1的左、右焦点，点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是 14设M是椭圆上一点,F1、F2为焦点，，则 15.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（A) （B） （C） (D）16设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的（ )（A）充要条件 (B）必要不充分条件 （C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要17。

如图，把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点,则 ；18、已知定点A（a，0），其中，它到椭圆上的点的距离的最小值为1，求a的值19、已知F1､F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任一点1）若∠F1PF2=,求△F1PF2的面积.(2）求｜PF1|·|PF2|的最大值。