高级生物统计044.ppt

Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 第四节 最优设计 对于一定的回归模型，在给定的因子空间的某一区域上，可以设计出多种试验方案，每个方案都存在它的最大误差方差在这些试验方案中挑选出最大误差方差最小的方案，用它的试验结果估计的回归方程，其回归预测值与实际观测值的拟合程度最高，因而这种试验方案是最优的Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design最优设计(optimum design)就是从试验误差方差最小的基本目的出发，得出的一种试验设计方法为了判断一种试验设计是不是最优设计，已经提出了很多优良性准则，如D—优良性、G—优良性、E—优良性、U—优良性、A—优良性等。

Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design一、D—最优设计原理 （一）回归模型与试验方案1、回归模型 对于给定的p维欧氏因子空间区域中的点 ，无论变量之间的回归关系如何，其回归模型的一般形式可表示为：Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design其中，x为自变量组成的p维向量(x1，x2，…，xp)；f1(x)，f2(x)，… ，fm(x)都是连续函数；1，2，… ，m为m个需要估计的回归系数；ε为随机误差、相互独立，且都服从N(0，σ2)Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 若记 回归模型(4—45)也可表示为：Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design若进行了 t 次试验，则模型(4-46)的结构矩阵X为：信息矩阵A为 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design模型(4—45)包含了最常见的各种回归模型。

例如，当f1(x)，f2(x)，… ，fm(x)为一组幂函数时，若取p = 2，m = 6，模型(4—45)就是二元二次回归模型 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design2、试验方案 假设试验在p维欧氏因子空间区域中的一组点x1，x2，…，xt上进行，每个点的试验重复次数分别为n1，n2，…，nt这一组点及其对应的重复次数便构成一个试验方案，这种方案称为离散型方案(discrete scheme)，用W表示 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design其中x1，x2，…，xt称为方案W的谱点 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 离散型方案的信息矩阵A(W)为 (4-50)Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design如果将离散型方案中每个点的重复次数用其与总次数的比值pi=ni/N表示，且pi可以在[0，1]中任意取值，这种方案称为连续型方案(continuous scheme)，即 其中，pi称为xi点的测度， 。

Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 连续型方案的信息矩阵A(W)为 (4- 52)Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design （二）D—优良性与G—优良性1、D—优良性 为了确定一个试验方案是不是最优方案，必须给出判断最优性的标准1943年Wald提出了信息矩阵行列式最大值判别法，1959年Kiefer称这种判别法为D—最优性，又称为D—优良性Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design对于同一回归模型(4—45)的两个不同的试验方案W1和W2，如果方案W1的信息矩阵行列式的值大于方案W1的信息矩阵行列式的值，即|A(W1)|>|A(W2)|，则认为在D—优良性意义上，方案W1比方案W2优良。

由于相关矩阵C(W)是信息矩阵A(W)的逆矩阵， |C(W)| ·|A(W)|=1 ，因此|A(W1)|>|A(W2)|等价于|C(W1)|>|C(W2)| Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 【例4 · 9】设单因素试验的回归模型为 试比较下列两个试验方案的D—优良性Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design根据模型(4—45)，此例p = 1，m = 2，f1(x)=1，f2(x)=x，F '(x)=(f1(x) f2(x))=(1 x)，为离散型方案根据 (4—48) 式，对于试验方案W1，信息矩阵为：Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 其行列式为：W1的相关矩阵及其行列式分别为：Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 对于试验方案W2，相应的计算结果为：Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design由于|A(W1)|>|A(W2)|，|C(W1)|<|C(W2)|，因此在D—优良性意义上，试验方案W1优于W2。

在给定的因子空间的某一区域上，可以设计出多种试验方案所有方案中信息矩阵行列式最大的方案称为区域上的D—最优方案，简称D—最优方案显然，D—最优方案是针对因子空间的某一区域而言的，对于不同的区域可能存在不同的D—最优方案Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 2、G—优良性 按照试验方案W进行试验，获得N个观测值y1，y2，…，yN，用最小二乘法可以估计出回归模型(4—46)的回归系数若记的估计值为b，则Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 其中，其回归方程为：Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design b的方差协方差矩阵回归预测值 的方差(4-56)当以σ2为单位时，记回归预测值的方差 为 ，则Copyright © 2006 Sichuan Agricultural Univers。