固体物理第二章第四节--倒格子PPT.ppt

第四节 倒格子,本节主要内容:,一、 概念的引入,三、 倒格矢与晶面,二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子,四、 倒格子的点群对称性,2.4 倒格子,一、概念的引入,晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.,然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基本粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和动量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频率的波,波也是物质存在的一种基本形式.,波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？,布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只与位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性,均应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是如此不失一般性，上述函数可统一写为：,布拉维格矢,由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将其展开成傅里叶级数：,1. 周期函数的傅里叶展开,展开系数,因为：,所以：,令,则：,则,,不合要求，应舍去,所以,由于 与 存在上述对应关系, 可以描述布拉维格子,自然 也可以描述同样的布拉维格子,且 与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似,因而,凡是波矢 和布拉维格矢满足 的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格子的由来.,成立,,也就是说,一定存在某些 使得当 成立时,2. 定义,对布拉维格子中所有格矢 ，满足 或 (m为整数)的全部 端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子(reciprocal lattice),与倒格子的定义对应，由格矢 的端点所描述的布拉维格子，称为正格子(direct lattice),由 端点的集合所描述的布拉维格子，称为倒格子(reciprocal lattice),称为倒格矢,利用倒格矢，满足 的傅里叶展开为:,,意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。

二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子,欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任意整数，则要求：,h1,h2,h3为整数,对布拉维格子中所有格矢 ，满足 或 (m为整数)的全部 端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子(reciprocal lattice).,称为倒格矢,当 满足时，则下式自然成立：,或：,由于 为倒格矢，如果把倒格矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocal space),则由于 不共面，自然可以成为倒易空间的基矢和 对比,表明 对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子从而 且 也可作为以 为基的某一布拉维格子的倒格子的定义讨论：,所以可令：,1.,其中 是正格基矢,是固体物理学原胞体积,同理可得,所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：,,与 所联系的各点的列阵即为倒格子许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义,a. 晶格振动形成的格波，x射线被晶体衍射的电磁波以及电子在晶体中运动的几率波等，它们的状态均用波矢来表征，其波矢取值应限制在倒格子空间中的一个原胞内，一般限制在简约布里渊区中(单值性的要求),2.,与正格子空间的平面波 类似，可以把 看成倒空间的平面波， 是倒空间的任一矢量,所以，在倒空间中，矢量 与 代表相同的波或相同的状态。

注：,b.倒格子空间中的WS原胞称为第一布里渊区，也就是所谓的简约布里渊区,3.,由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因此，它们互为倒易格子三、倒格矢与晶面(倒格子与正格子的几何关系),1.,体积关系,(其中和*分别为正、倒格子原胞的体积),除 因子外，正格子原胞体积 和倒格子原胞体积 互为倒数,利用,2.,倒格矢与晶面,倒格矢 和正格子中晶面族(h1h2h3)正交且其倒格矢长度为：,其中 是正格子晶面族(h1h2h3)的面间距,首先我们证明,倒格矢 和正格子中晶面族(h1h2h3)正交,设平面ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面,ABC在基矢 上的截距分别为 由图可知：,,所以倒格矢 和正格子中晶面族(h1h2h3)正交,接着我们再证明倒格矢长度为,由于倒格矢 与晶面族(h1h2h3)正交.,因而，晶面族(h1h2h3)的法线方向为,则法线方向的单位矢量为：,因而，面间距,这个关系很重要,后面分析XRD时要用,,,,,3.,倒格子基矢的方向和长度,一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。

设：,利用体积=底面积*高，则有：,晶体结构,2.与晶体中原子位置相对应；,2.与晶体中一族晶面相对应；,3.是与真实空间相联系的倒格子空间中点的周期性排列；,3.是真实空间中点的周期性排列；,4.线度量纲为长度,4.线度量纲为长度-1,已知晶体结构如何求其倒格子呢？,晶体结构,,正格子,,,正格子基矢,倒格子基矢,,倒格子,例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列倒格子是边长为的正方形格子例2：证明体心立方的倒格子是面心立方倒格矢：,同理得：,体心立方的倒格子是边长为4/a的面心立方 与p25fcc比较可知,例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为,证明：,简立方：,法一：,,,法二：,设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，,ABC在基矢 上的截距分别为,则,,,对于立方晶系：,且：,,,,,根据任何矢量的方向余弦的平方和等于1,即：,四、 倒格子的点群对称性,1.,同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性,证明：,设 为正格子的一个点群的任取对称操作，亦即 为正格矢时， 亦为正格矢 (点群对称操作不会改变原有格点之间的距离) 按照群的定义,当 为点群对称操作时, 亦为同一点群的对称操作，则 亦为正格矢。

由点群对称操作不会改变原有格点之间的距离可知：,当 和 接受同一点群对称操作时，空间任意两点之间的距离不变所以，对点群中任一 而言， 亦为倒格矢，亦即，对应正格子的群中的任一操作 相应的也是倒格子的对称操作因而同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性 2.,倒格子空间中的WS原胞，亦即第一布里渊区，也就是所谓的简约布里渊区，具有晶格点群的全部对称性主要因为WS原胞本身就是对称化原胞之故,所以，第一布里渊区具有特别重要的意义,。