高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学案新人教B必修2.doc

2.1.2　平面直角坐标系中的基本公式[学习目标]　1.通过数轴上两点的距离公式的探索,掌握平面直角坐标系中两点的距离公式和中点公式.2.通过对两点的距离公式的推导过程的探索,体会算法.3.进一步体会“坐标法”的基本思想,逐步学会用“坐标法”解决有关问题.[知识链接]1.在直角坐标系中,A(1,0),B(3,0)两点的距离为2；C(0,－1),D(0,3)两点的距离为4.2.在直角三角形ABC中,B＝90,AB＝3,BC＝4,则AC＝5.[预习导引]1.两点间距离公式两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式表示为d(A,B)＝；当AB垂直于y轴时,d(A,B)＝|x2－x1|；当AB垂直于x轴时,d(A,B)＝|y2－y1|；当B为原点时,d(A,B)＝.2.坐标法(1)定义：在解决一些平面上的几何问题时,经常在平面上建立坐标系,以坐标系为桥梁,将几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形的性质,这种方法称为坐标法.注意在建立坐标系时,可以建立直线坐标系、直角坐标系等.(2)坐标法解决问题的基本步骤如下：第一步,根据题中条件,建立恰当的坐标系,用坐标表示有关的量；第二步,进行有关代数运算；第三步,把代数结果翻译成几何关系.3.中点坐标公式已知A(x1,y1),B(x2,y2),设点M(x,y)是线段AB的中点,则中点坐标公式为.要点一　两点的距离公式的应用例1　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a,0),B(a,0),C(0,a).求证：△ABC是等边三角形.证明　由两点的距离公式得|AB|＝＝2|a|,|BC|＝＝2|a|,|CA|＝＝2|a|.∴|AB|＝|BC|＝|CA|,故△ABC是等边三角形.规律方法　1.判断多边形的形状或判断点之间的关系时,若已知点的坐标,一般转化为两点的距离求解.2.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等,在进行判断时,一定要得出最终结果,比如一个三角形是等腰直角三角形,若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.跟踪演练1　本例若改为：已知A(－1,－1),B(3,5),C(5,3),试判断△ABC的形状.解　d(A,B)＝＝＝＝2,d(A,C)＝＝＝＝2,d(B,C)＝＝＝＝2.所以|AB|＝|AC|≠|BC|,且显然三边长不满足勾股定理,所以△ABC为等腰三角形,要点二　中点公式的应用例2　已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线交点为E(－3,4),求另外两顶点C、D的坐标.解　设C点坐标为(x1,y1),则由E为AC的中点得：得设D点坐标为(x2,y2),则由E为BD的中点得得故C点坐标为(－10,6),D点坐标为(－11,1).规律方法　1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质,依据中点公式列方程组求点的坐标.2.中点公式常用于求与线段中点,三角形的中线,平行四边形的对角线等有关的问题,解题时一般先根据几何概念,提炼出点之间的“中点关系”,然后用中点公式列方程或方程组求解.跟踪演练2　已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0,0),B(2,0),D(1,3),求顶点C的坐标.解　∵平行四边形的对角线互相平分,∴平行四边形对角线的中点坐标相同.设C点坐标为C(x,y),则∴即C(3,3).要点三　坐标法的应用例3　已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小,并求此最小值.解　以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系如图.则A,B,C设P(x,y)则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋2＋2＋y2＋2＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋32＋a2≥a2,当且仅当x＝0,y＝a时,等号成立,∴所求最小值为a2,此时P点坐标为P是正△ABC的中心.规律方法　(1)也可以B为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,计算也不复杂.(2)配方法求最值是重要方法,应掌握好.(3)选择恰当坐标系的原则是“避繁就简”.跟踪演练3　已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系.证明：AM＝BC.证明　如图所示,以Rt△ABC的直角边AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立直角坐标系,设B、C两点的坐标分别为(b,0)、(0,c),∵点M是BC的中点,故点M的坐标为.由两点的距离公式,得|BC|＝ ＝ ,|AM|＝ ＝ ,∴AM＝BC.1.已知A(－8,－3),B(5,－3),则线段AB的中点坐标为(　　)A. B.C. D.答案　B解析　由中点坐标公式可以求得.2.已知A(1,2),B(a,6),且|AB|＝5,则a的值为(　　)A.4 B.－4或2C.－2 D.－2或4答案　D解析　＝5,解得a＝－2或4.3.已知线段AB的中点在坐标原点,且A(x,2),B(3,y),则x＋y等于(　　)A.5 B.－1 C.1 D.－5答案　D解析　易知x＝－3,y＝－2,∴x＋y＝－5.4.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是(　　)A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案　B5.点A(2,3),B(5,4)之间的距离为________.答案　解析　|AB|＝＝＝.1.A,B两点的距离与A,B两点的顺序无关,即d(A,B)＝d(B,A).公式中坐标的顺序也可以同时调换,即d(A,B)＝＝.2.在平面直角坐标系内,若已知点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M的坐标为(x,y),则有对于A,B,M三点,只需知道其中两点的坐标,便可求出其余一点的坐标.3.坐标法应用的注意点：一些平面几何问题用坐标法解决更简单,但要把坐标系建立在适当的位置上,注意利用图形的几何性质.(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；(2)如果图形中有互相垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴；(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴.事实上,建立不同的直角坐标系,相关点的坐标不同,但不影响最后的结果.5。