极限与连续.docx

第 二 章 极 限 与 函 数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解极限的描述性定义．2．了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质．3．会用两个重要极限公式求极限．4．掌握极限的四则运算法则．5．理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类．6．了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值 定理、根的存在定理、介值定理）．7．会用函数的连续性求极限．重点 极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念．难点 间断点的分类，分段函数在分段点的连续性．（二）内容提要1•极限的定义（1） 函数极限、数列极限的描述性定义极限定义表类 型描述性定义极限记号设函数y = f （x）在|X〉b （b为某个正 实数）时有定义，如果当自变量x的绝对值 无限增大时，相应的函数值无限接近于某 一个固定的常数A，则称A为X * （读作 “ X趋于无穷”时函数f（X）的极限lim f (x) = A 或X T8设函数y = f（X）在（a,+^）（a为某个实数） 内有定义，如果当自变量x无限增大时， 相应的函数值f （X）无限接近于某一个固定 的常数A，则称A为XT+8 （读作“ X趋于 正无穷”时函数f （x）的极限lim f (x) = A 或X T+w设函 >数 y = j(x)在(一8, a) ( a /为某、个 实数)内有定义，如果当自变量|x|无限增大 且x < 0时，相应的函数值f (x)无限接近于 某一个固定的常数A，则称A为x t -8 (读 作“ x趋于负无穷”时函数f (x)的极限lim 丿(x) — a -或x T-8设函数y = f(x)在点x的去心邻域 N (x , 8)内有定义，如果当自变量x在 N(x0,8)内无限接近于x时，相应的函数值 f (x；无限接近于某一个固定的常数A，则 称A为当x T x (读作“ x趋近于x ”时 函数f (x)的极限 0lim f (x) = A 或x T x 0设函数y = f (x)在点x°的左半邻域 (x -8 ,x )内有定义，如果当自变量x在此 半邻域内从x左侧无限接近于x时，相应 的函数值f (x)无限接近于某个固定的常数 A，则称A为当x趋近于x时函数f (x)的左 极限 °lim f (x) = A 或x T x 一设函数y = f (x)的右半邻域(x x +8 )0, 0 内有定义，如果当自变量x在此半邻域内 从x右侧无限接近于x时，相应的函数值 f (x)无限接近于某个固定的常数A，则称 A为当x趋近于x时函数f (x)的右极限lim f (x) = A 或x T x+数列b的极限对于数列b ｝，若当自然数n无限增大n时，通项u无限接近于某个确定的常数， 则称A为当n趋于无穷时数列耳｝的极限， 或称数列缶｝收敛于Alim u = A 或nn T8若数列lx ｝的极限不存在，则称数列｛x ｝发散 "n lim u不存在nn T82)单侧极限与极限的关系定理① limf (x) = A的充分必要条件是limf (x) = limf (x) = A -XT8 XT+8 XT—8② lim f (x) = A的充分必要条件是lim f (x) = lim f (x) = A •XTX0 xTx~ xT x+(3) 极限存在准则① 单调有界数列极限的存在定理 单调有界数列必有极限．② 夹逼准则若当 x g N(x ,6 ) 口时 有 g(x) < f (x) < h(x)，且 limg(x) = A， limh(x) = A，则 lim f (x) = A •0 XTX0 XT X0 XT X0 夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立.2. 极限的四则运算法则设 lim f (x) 及 lim g(x) 都存在，则 xTx0(1)(2)(3)xTx0lim f (x) 土 g(X)]= lim f (x) 土 lim g(x)；xTx0 xTx0 xT x0lim f (x)g(x)L lim f (x) lim g(x)，xT x0 xT x0 xT x0lim C*(x)!= C lim f (x) ( C 为任意常数);xT x0 xTx0lim 仪=lim 竺 xTx0 g(x) xTx0 g(x)(lim g (x)丰 0)-xTx0上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立．3．两个重要极限(1)(2)lim 1 + -X丿limS^ = 1, 一般形式为lim Sin U (X)= 1 (其中()代表 的任意函数).XT0 X u (X)T0 u (X) U(X) X般形式为lim 1 +u ( X )T^\心=e (其中()代表「的任意函数).u ( x) x4・无穷小量与无穷大量在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时，均以X Tx的极限变0化过程为例.其他极限变化过程,有完全类似的结论．(1)无穷小量在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小•例如，如果lim f (x) = 0，则称当x T X。

时，f (x)是无穷小量.xTx0 0注意 一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小， 一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数.(2) 无穷大量 在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过 程中的无穷大量，简称无穷大.应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号limf(x)十，表示“当x T x0时，f (x)是无穷大量”. f (3)无穷小量与无穷大量的关系在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量．(4) 无穷小量的运算① 有限个无穷小量的代数和是无穷小量．② 有限个无穷小量的乘积是无穷小量．③ 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量．④ 常数与无穷小量的乘积是无穷小量．(5) 无穷小量的比较下表给出了两个无穷小量之间的比较定义．无穷小量的比较表设在自变量x T x的变化过程中，Q(x)与卩(x)均是无穷小量0 无穷小的比较定义记号r -|p (x) =oQ (x)1 (x T x )0Q (x)〜p (x) (x T x )0(6) 极限与无穷小量的关系定理lim f (x) = A 的充分必要条件是f (x) = A +a (x)，其中a(x)是当xTx时的无穷小 xTx0 0量．(7) 无穷小的替换定理设当x T f时,Q (x)〜Q (x)，12卩1(x)~ 卩 2( x)，lim 存在，则limxTx0Q ( x)1卩(x)c ' 2Q ( x)25．函数的连续性⑴ 函数在一点连续的概念① 函数在一点连续的两个等价的定义：定义1 设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量Ax = x-x趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即lim Ay = lim Ax T0 Ax T0f (x + Ax) - f (x )1= 0，00则称函数f (x)在点x处连续，或称x是f (x)的一个连续点. 00定义2若lim f (x) = f (%)，则称函数f (x)在点x0处连续.② 左石连续旳概念 右lim f (x) = /(%)，则称函数f (X)仕点x0处左连续；右XT X -0lim f (x) = f (%)，则称函数f (X)在点x °处右连续.XT X+⑵ 函数在一点连续的充分必要条件函数f (X)在点X处连续的充分必要条件是f( X)在点X处既左连续又右连续.由此可知，函数f (X)在点X处连续，必须同时满足以下三个条件：① 函数f (X)在点X的某邻域内有定义，② lim f (X) 存在，XTX③ 这个0 极限等于函数值 f(X )．0⑶ 函数在区间上连续的概念 在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在 该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间．如果连续区间包括端点，那么函数在右端 点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．⑷ 间断点若函数f(X)在点X处不连续，则称点X为函数f (X)的间断点.⑸ 间断点的分类0 0设X为f (X)的一个间断点，如果当X T X时，f (X)的左极限、右极限都存在， 则称X为f (X)的第一类间断点；否则，称X0为f (X)的第二类间断点.对0于第一类间断点有以下两种情形： 0①当limf (X)与limf (x)都存在，但不相等时，称X为f (X)的跳跃间断点；XTX0- XTX0+ 0②当limf (x)存在，但极限不等于f (x )时，称x为f (x)的可去间断点•XTX0 0 0⑹ 初等函数的连续性定理 基本初等函数在其定义域内是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是 连续的．⑺ 闭区间上连续函数的性质① 最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小 值．② 根的存在定理 设右x)为闭区间L,b］上的连续函数，且f (a)与f (b)异号，则 至少存在一点^e(a,b)，使得f忆)二0 -③ 介值定理 设f(x)是闭区间 打上连续函数，且f (a)丰f (b)，则对介于 f (a)与f (b)之间的任意一个数耳，则至少存在一点g e (a,b)，使得f点)=n .二、主要解题方法1．求函数极限方法(1) 利用极限存在的充分必要条件求极限例1 求下列函数的极限：1)limxt2 x 2 一 42)1x sm + ax1 + x 2x < 0 '当a为何值时，f (x)在x二0的极限存在.x > 0 ,解⑴limxT2— x 2 — 4二2 二 limxt2-2—x 1,(x — 2)( x + 2) 4lim xT2+ x2 — 4=lim 口 二 1,xt2+ (x — 2)(x + 2) 4因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．(2)由于函数在分段点x二0处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点x二0处的左极限与右极限.于是，有lim f ( x) =lim (x sin — + a) = lim (x sin 丄)+ lim a = a，xT0 — xT0 — x xT0 — xlim f (x) = lim(1 + x2) = 1，xT0 + xT0 +为使limf (x)存在，必须有 lim f (x) = lim f (x)，x T0 xT0+ xT0 —因此，当 a =1 时，lim f (x)存在且 lim f (x) = 1 -xT0 x T0小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限xtO一xtO一来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在．3)利用极限运算法则求极限例2 求下列函数的极限：⑴ lim2x2 — 3 ，xT1 x + 1⑵ lim x 2 — 9。