制动器试验台的控制方法数学模型.doc

制动器实验台的控制方法数学模型摘要我们小组解答A题制动过程中，汽车的动能包含汽车平移质量运动的动能和旋转机件旋转时所贮藏的动能两部分在实验过程中我们通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差第一个问题可以将汽车在一定载荷下的平动动能看成是由模拟试验台上飞轮等机构的等效惯量在旋转时具有的转动动能即是利用公式：，得到第一问的答案为52 kg·m2在第二问中，模拟系统产生的等效惯量=机械惯量+电动机补偿的惯量首先，我们通过积分运算就可以算出三个飞轮惯量约为30 kg·m2，60 kg·m2，120 kg·m2，所能组成的机械惯量为10， 40，70，100，130，160，190，220 kg·m2故针对于第一问中的52 kg·m2，取机械惯量为40 kg·m2或70 kg·m2，需要电动机补偿的惯量为12 kg·m2或-18 kg·m2对于第三问，我们首先基于路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差最小建立了一个补偿电流的最优化模型模型如下：求出其一个基于转速的最优解，但是通过观察其求出的不同时间段的电流，发现有待进一步完善针对第三问的第二个问题，得到第三问的答案约为174.83A或262.24A。

针对第四问提供的基于某种未知模型的数据，我们采用响应曲线法和能量差法进行了不同原理的比较我们利用MATLAB编程绘图，通过观察响应曲线，补偿电流还是有一定程度的震荡；从能量差的角度分析，通过编程计算发现这种方法所提供的数据得到的总的能量补偿和实际情况有5%左右的偏差并且，通过给与扭矩几个不同的随机扰动，发现该模型抗扰动的能力还是比较强的在考虑第五问中的数学模型的时候，我们给出基于扭矩模型的最优解，得到关于不同时间间隔的电流的迭代公式考虑到对于该模型的一个重要数量指标是能量误差的大小，能量误差越小，我们用此模型算出的驱动电流就越合理本题没有给定相关数据来计算每个离散时间段内的能量误差，所以我们可以转化为以能量差的稳定性来评价模型的优劣在第六问的模型中，针对电流的滞后效应我们在前馈调节的基础上，引入反馈调节， 达到减小电流误差的目的本文最后，分析了本模型的优点和不足之处提出本模型经过一定的改进后还是具有一定的应用前景关键词：等效惯量 最优化模型 滞后效应 前馈调节 MATLAB 1．问题的重述在检测制动器的性能时，若车辆在设计阶段无法路试，则需要在专门的制动试验台上对所设计的路试进行模拟实验。

将负载车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为 惯量)在本题中称为等效的转动惯量试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量若不能精确地用机械惯量模拟实验，可以在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/N·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。

通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差需要解决的问题是：1．设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量2．飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30, 30] kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？3． 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流4． 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m2，机械惯量为35 kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表请对该方法执行的结果进行评价5． 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。

6． 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价2. 问题分析2.1 问题1的分析问题1是简单的物理知识应用，汽车在一定载荷下平动时候的动能看成是由制动试验台的等效惯量所对应的能量，即可求得等效地转动惯量2.2 问题2的分析首先利用微元积分法，可以求得三个飞轮的转动惯量，然后考虑三个飞轮可以组成的所有机械惯量因为等效惯量=机械惯量+电动机补偿惯量，根据补偿惯量的取值范围，可以得到一个或多个电动机的补偿惯量2.3 问题3的分析在这里，我们考虑的是在某时间间隔内等效惯量所做的功与可观察到的摩擦力所做的功之间的能量差值如果这个差值取到最小，说明模拟实验的结果很好，由此得到的驱动电流也最准确2.4 问题4的分析评价控制方法优劣的一个重要指标是能量误差的大小，即路试时制动器与相对应的试验台上制动器在制动过程中的能量之差在试验台中用某种控制方法对电动机进行控制，得到瞬时扭矩和瞬时转速，由于在每个时间段内，可以近似看作是匀速运动根据物理学知识，可以求出该段时间实验台上制动器所消耗的实际能量，在整个时间段内，求和可得总消耗的实际能量E1本题假设我们无法进行路试，但我们可求一个刹车过程的理论上最少消耗的总能量E。

计算能量误差与理论能量的比值(E1-E)/E，通过灵敏度分析来讨论能量误差的稳定性另外，还可以通过扭矩与时间的关系曲线，分析该控制方法的制动效果2.5 问题5分析此题的模型在问题三中已经建立，所以主要是对模型进行评价我们针对问题三提出的最优化模型求出了针对转速和扭矩的两个最优解这两种最优解都是针对能量的损耗提出的，但是在处理当前时刻的补偿电流的时候，都是利用前一阶段的补偿电流导出下一阶段的补偿电流由于电流数据的获得具有滞后性，所以必然会带来一些误差2.6 问题6的分析针对问题5中存在电流滞后效应，我们考虑引入反馈调节，在反馈系统中，用瞬时转速预测该时刻的电流，计算在该电流下的对应的理想扭矩把理想扭矩数值和观测所得的扭矩数值进行比较，两者的差值反映了以瞬时转速为基础的预测值的准确性如果偏差量超过了容许的范围，以偏差量为输入，进行一个反馈控制由偏差量计算出一个对应的电流，并且把该电流加到预测电流中，得到最后的电流值3．模型的假设与符号说明3．1 模型的假设1) 试验过程中制动正常，不会出现偶然事故；2) 制动器试验台上主轴的角速度与车轮的角速度始终一致；3) 试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，且试验台工作时 主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量；4) 观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差均为无穷小量；5) 试验用飞轮是质地均匀的标准飞轮；6) 试验过程中不考虑电动机，主轴，飞轮等机构的热效应；3．2 符号说明 ：车轮的平动动能； ：飞轮的转动动能；：单个前轮的负载质量；：单个前轮前进的速率；　 ：飞轮的惯量；：基础转动惯量；：等效转动惯量（即实际转动惯量）；　 ：机械惯量；　 ：飞轮的角速度； ：飞轮的转速；　 ：单个前轮的滚动半径；、：飞轮的内外半径；　 ：钢材密度；　 ：飞轮厚度；：电动机产生的扭矩；：电动机驱动电流与其产生的扭矩的比例系数；：瞬时总扭矩；　：驱动电流；：n时刻的电流； ：离散时间段；：等效转动惯量产生的扭矩； ：机械部分产生的扭矩； ：补偿电流产生的扭矩； ：制动过程中理论上产生的能量； ：制动过程中世纪上产生的能量； ：机械部分产生的转动动能； ：补偿电流提供的能量； ：第n个时间段的电流； ：第n个时间段的角速度；：表示一个常量；4. 问题的解决4.1 求解第一问：求等效的转动惯量在试验台上，车辆平动时具有的能量被等效地转化为飞轮转动时具有的能量，所以有=。

根据动能定理，载荷所具有的动能满足：其中，为车轮的质量，为车辆的前进速度而根据转动定律，飞轮转动时具有的能量有：，其中， ：等效的转动惯量；：飞轮的角速度；：飞轮的滚动半径则有 （1）这样，由（1）式知，所求等效的转动惯量为： （2）又由重力公式知，飞轮和主轴等机构整体的重力 ，其中=9.8N/kg （3）根据题目已知条件，飞轮和主轴等机构整体的滚动半径=0.286m，飞轮和主轴等机构整体的重力=6230N联立（2）式和（3）式，有 将数据带入上式，可得到所求等效的转动惯量=51.9989 kg/m，近似地认为，得到等效的转动惯量是=52 kg/m4.2 求解问题第二问：求解可组成的机械惯量和电流补偿的惯量机械惯量等于飞轮的惯量加上基础惯量为了求解可以组成哪几种机械惯量，我们利用公式的积分求出3个飞轮的惯量，然后利用排列组合知识让其与基础惯量组合，就可得到可以组成哪几种机械惯量而对于电流补偿的惯量，我们直接把第一个问题中所得到的等效惯量与已经求得的几种机械惯量相比较，就可以得到合适的机械惯量以及相对应的电流补偿惯量。

求解可组成的机械惯量机械惯量等于飞轮的惯量加上基础惯量基础惯量是已知的（=10 kg·m2），飞轮的惯量可由4.1中的（2）式积分化得到：其中，是飞轮和主轴等机构整体上各质点的质量而质量（为飞轮的密度，为从某质点到转动轴线的距离为半径所构成的圆盘体积）而 则由以上关系可得到，飞轮的惯量为： （4）在此问中，钢材密度=7810kg/m，飞轮的内外半径和分别可求得=0.1m，=0.5m；3个飞轮的厚度h分别为0.0392m、0.0784m、0.1568m由（4）式求得题中所给的3个飞轮的惯量分别为：29.9931 kg·m2、59.9862 kg·m2、119.9724 kg·m2，同样，近似，得到3个飞轮的惯量分别为30 kg·m2、60 kg·m2、120 kg·m2则用排列组合可以组成的机械惯量如下表（表1）：（机械惯量单位：kg·m2）飞轮个数0123机械惯量104070100130160190。