求函数值域的几种方法.ppt

求函数值域的几种方法制作人 张志良• 求函数值域的问题，也是高中数学中常见的题型 ，下面举例说明求函数值域的几种常用的方法. • 1. 利用配方法求函数的值域 • 对函数 y = f (x)，如果 f (x) = a [ (x)]2 + b，并且  (x) = 0 有实根，则当 a > 0 时，f (x) 的值域是 [ b， +∞）；当 a 0 . 函数的值域为 { y | y  -1 或 y > 0 } .• 4. 利用反函数的定义域求函数的值域 • 若一个函数有反函数，则它的反函数的定义域就 是原函数的值域 .注：对于分式函数，如果它的分子和分母都 是 x 的一次式，一般用这种方法求值域比较方便 .• 5. 利用函数单调性求值域 • 设函数 y = f (x) 在某一区间上是单调的，且函数 在两个端点处的函数值（或左、右极限）为 a、b， 则 a、b 就是这个函数的最大、最小值（或上、下确 界，a，b也可能是 ∞）.解：显然此函数的定义域为 [1，+∞）.当 x  1 时，函数单调递增 .解：因为 x (2-x) = 2x - x2 = -( x -1 )2 + 1  1 ,考察 y = f (u) 在 (0，1] 上的增减性 .•  f (u) 在（0，1] 上是减函数 .因为当 u = 1 时，y = 2，当 u  0+ 时，y  +∞ .• 6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数 的值域因函数的定义域非空集，故上述关于 x 的一元二 次方程一定有实根 .• 注 ： 若一个函数是分式函数，且其分子分母 都是不超过二次的多项式函数，且其中至少有一 个是二次多项式，则这样的函数就可以用上述方 法求值域 . • 另外，等我们学习了不等式一章之后，还可 以用基本不等式求函数的值域 .。