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精品文档第五章：万有引力定律 人造地球卫星『夯实基础知识』1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连续 20 年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律第一定律：所有行星都在椭圆 轨道 上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；第二定律： 行星沿椭圆轨道运动的过程中， 与太阳的连线在单位时间内扫过的 面积 相等；第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的 比值都相等 ．即r 3kT 2开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律2．万有引力定律及其应用(1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向FG Mm（1687年）r 2G6.6710 11Nm2 / kg 2 叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体相距 1m 时的相互作用力， 1798 年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。

万有引力常量的测定 ——卡文迪许扭秤实验原理是力矩平衡实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大） 万有引力常量的测定使卡文迪许成为 “能称出地球质量的人 ”：对于地面附近的物体 m，有 mg GmE m，可得到 mEgRE22 （式中 RE 为地球半径或物体到地球球心间的距离）GRE(2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时 r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体， r 是两球心间的距离．当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出 F 近为无穷大注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量 G 的物理意义是： G 在数值上等于质量均为 1kg 的两个质点相距 1m 时相互作用的万有引力．(3) 地球自转对地表物体重力的影响精品文档精品文档重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，在纬度为的地表处，万有引力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力 F 向=mRcos·ω2（方向垂直于地轴指向地轴） ，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力 mg，其方向与支持力 N 反向，应竖直向下，而不是指向地心。

由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g 随纬度变化而变化，从赤道到两极R 逐渐减小，向心力mRcos ·ω2 减小，重力逐渐增大，相应重力加速度g 也逐渐增大ωNO′ F心mOF引mg甲在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向 和 m2g 刚好在一条直线上，则有F＝ F向＋m2g，所以 m2g=F 一 F 向 ＝ G m1m2 － m2 Rω自2r 2物体在两极时，其受力情况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引力 F 引 和支持力 N 是一对平衡力，此时物体的重力mg＝N＝ F 引ωNωF 引F 引 No o乙 丙综上所述重力大小：两个极点处最大，等于万有引力；赤道上最小，其他地方介于两者之间，但差别很小重力方向：在赤道上和两极点的时候指向地心，其地方都不指向地心，但与万有引力的夹角很小由于地球自转缓慢， 物体需要的向心力很小， 所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即GmM≈ mgR2说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力的变化为千分之五；地面到地心的距离每增加一千米，重力减少不到万分之三，所以， 在近似的计算中，认为重力和万有引力相等。

万有引力定律的应用：基本方法：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动， F 万=F 心(类似原子模型 )方法：轨道上正常转：G Mmm v 2m2 rm4r 2rT22 r精品文档精品文档地面附近： G Mm2R 2= mgGM=gR (黄金代换式 )（ 1）天体表面重力加速度问题通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2g＝ G m1 m2 ，R2g=GM/R2 常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/ （R+h） 2，比较得 gh =（r） 2·gRhMmM设天体表面重力加速度为g，天体半径为 R，由 mg= G R2得 g= G R2，由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为g1R22M1g2R12M 2（ 2）计算中心天体的质量某星体 m 围绕中心天体m 中 做圆周运动的周期为 T，圆周运动的轨道半径为r ，则：m中 m2242 r 3mr得： m中由 G2GT 2rT例如：利用月球可以计算地球的质量，利用地球可以计算太阳的质量可以注意到：环绕星体本身的质量在此是无法计算的 3）计算中心天体的密度MM3r 2ρ===2 R 3V4R3GT3由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r 及运行周期T，就可以算出天体的质量 M ．若知道行星的半径则可得行星的密度（ 4）发现未知天体用万有引力去分析已经发现的星体的运动，可以知道在此星体附近是否有其他星体，例如：历史上海王星是通过对天王星的运动轨迹分析发现的。

冥王星是通过对海王星的运动轨迹分析发现的人造地球卫星这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，实际上大多数卫星轨道是椭圆，而中学阶段对做椭圆运动的卫星一般不作定量分析1、卫星的轨道平面： 由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的， 所以卫星的轨道平面一定过地球球心，球球心一定在卫星的轨道平面内2、原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动， 所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有精品文档精品文档GmM22 )2 rma mm 2 r m(r 2rT实际是牛顿第二定律的具体体现3、表征卫星运动的物理量：线速度、角速度、周期等：（ 1）向心加速度 a向 与 r 的平方成反比a向 = GM当 r 取其最小值时，a向 取得最大值r 2GM=g=9.8m/s2a 向 max=2R（ 2）线速度 v 与 r 的平方根成反比v=GM ∴当 h↑， v↓r当 r 取其最小值地球半径R 时， v 取得最大值 vmax=GM= Rg =7.9km/sR（ 3）角速度与 r 的三分之三次方成百比=GM ∴当 h↑ ， ω↓r 3当 r 取其最小值地球半径 R 时， 取得最大值。

GMg－3max =3 =R≈1.23 × 10rad/sR（ 4）周期 T 与 r 的二分之三次方成正比r 3T=2∴当 h↑， T↑GM当 r 取其最小值地球半径R 时， T 取得最小值Tmin=2R3R≈ 84 min=2gGM卫星的能量： (类似原子模型 )r 增 v 减小 (EK 减小

其大小为 r＞＞ h（地面附近）时， V1r3=7．9× 10m/s方法二：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力．v2mg m1．当 r＞＞ h 时．。