新教材人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列求和2022新高考一轮复习课件.pptx

数列求和 课标要求 1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式及倒序相加求和、错位相 减求和法. 2.掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知 识解决与前n项和相关的问题. 备考指导 数列求和是数列问题的核心考点,一般在解答题的第二问中考查,常涉及错 位相减法、裂项相消法、分组转化法等,复习时需针对通项公式的特点总 结规律,准确进行计算.常用到转化化归思想,对数学运算核心素养渗透较 多. 【知识筛查 】 2.非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法:如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项 的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的. (2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或 可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.如已 知an=2n+(2n-1),求Sn. (3)并项求和法:一个数列的前n项中两两结合后可求和,则可用并项求和 法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn. (4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列 的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.如 等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. (5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以 相互抵消,从而求得其和. 常见的裂项公式: 【知识巩固 】 1.下列说法正确的画“”,错误的画“”. (1)利用倒序相加法可求得 sin21+sin22+sin23+sin288+sin289=44.5.() (2)已知Sn=a+2a2+3a3+nan,当a0,且a1时,求Sn的值可用错位相减法. () (3)如果数列an是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数 ).() (4)已知等差数列an的公差为d,则有 .() (5)若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则S50=-25.() 2.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则数列an的前n项和为() A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2D.2n+n-2 3.若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a10等于() A.15B.12C.-12D.-15 C A 因为an=(-1)n(3n-2), 所以a1+a2+a10=(-1+4)+(-7+10)+(-25+28)=35=15. 1 010 能力形成点1分组求和与并项求和 例1在等比数列an中,已知a1=3,公比q1,等差数列bn满足b1=a1, b4=a2,b13=a3. (1)求数列an与bn的通项公式; (2)设cn=(-1)nbn+an,求数列cn的前n项和Sn. 解 (1)设等差数列bn的公差为d. 由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d, 解得q=3(q=1舍去),d=2,故an=3n,bn=2n+1. (2)由题意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n, Sn=c1+c2+cn =(-3+5)+(-7+9)+(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)+3+32+3n. 解题心得1.若数列an的通项公式为an=(-1)nf(n),则一般利用并项求和法求 数列的前n项和. 2.具有下列特点的数列适合分组求和: (1)若an=bncn,且bn,cn为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求 数列an的前n项和; (2)通项公式为 的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等 差数列,可采用分组求和法求和. 能力形成点2错位相减法求和 例2已知数列an满足an+2=qan(q为实数,且q1),a1=1,a2=2,且a2+a3, a3+a4,a4+a5成等差数列. (1)求q的值和数列an的通项公式; (2)设 ,求数列bn的前n项和. 解 (1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3, 因为an+2=qan,所以a2(q-1)=a3(q-1). 又因为q1,所以a3=a2=2, 由a3=a1q,得q=2. 解题心得1.一般地,数列an是等差数列,数列bn是等比数列,求数列 anbn的前n项和,可采用错位相减法求和,解题思路是和式两边同乘等比 数列bn的公比,然后作差求解. 2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一 步准确写出“Sn-qSn”的表达式. 对点训练2 已知数列an的前n项和为Sn,Sn=2an+n-3. (1)证明数列an-1为等比数列,并求数列an的通项公式; (2)求数列nan的前n项和Tn. (1)证明 数列an的前n项和为Sn,Sn=2an+n-3, a1=S1=2a1+1-3,解得a1=2. 当n2时,Sn-1=2an-1+n-1-3. 由-,得an=2an-1-1,an-1=2(an-1-1). 又a1-1=1,数列an-1是以1为首项,以2为公比的等比数列. an-1=2n-1,即an=2n-1+1. 能力形成点3裂项相消法求和 例3已知等比数列an的前n项和为Sn,a1=2,an0,S6+a6是S4+a4,S5+a5的 等差中项. (1)求数列an的通项公式; 解 (1)S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中项, 2(S6+a6)=S4+a4+S5+a5, S6+a6-S4-a4=S5+a5-S6-a6,化简得,4a6=a4. 设等比数列an的公比为q, 解题心得裂项相消法的基本思想就是把an分拆成an=bn+k-bn(kN*)的形式, 从而达到在求和时绝大多数项相消的目的.在解题时要善于根据这个基本 思想变换数列an的通项公式,使之符合裂项相消的条件. 函数思想在数列问题中的应用 典例已知函数f(x)=ax2+bx的图象经过点(-1,0),且在x=-1处的切线斜率 为-1.设数列an的前n项和Sn=f(n)(nN*). (1)求数列an的通项公式; 解:(1)函数f(x)=ax2+bx的图象经过点(-1,0), 则a-b=0,即a=b. 因为f(x)=2ax+b,且函数f(x)=ax2+bx的图象在x=-1处的切线斜率为-1, 所以-2a+b=-1. 由得a=1,b=1, 所以数列an的前n项和Sn=f(n)=n2+n(nN*). 当n2时,Sn-1=(n-1)2+(n-1),所以an=Sn-Sn-1=2n; 当n=1时,a1=2符合上式,则an=2n. 解题心得1.已知函数条件解决数列问题,此类问题一般是利用函数的性 质、图象研究数列问题. 2.已知数列条件解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的概 念、公式、求和方法对式子化简变形. 3.解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在 问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常用解法有 助于该类问题的解决. 。