第四节函数的极限.ppt

第四节第四节 函数的极限函数的极限 函数的极限函数的极限 函数极限的唯一性函数极限的唯一性 函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性 函数极限的局部保号性（定理函数极限的局部保号性（定理1、定理、定理2）） 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 1函数的自变量的变化过程可分为两种情况：函数的自变量的变化过程可分为两种情况： （（1））自变量自变量 无限接近有限值无限接近有限值 表示为表示为 （（2））自变量自变量 的绝对值的绝对值 无限增大，无限增大， 表示为表示为 在自变量的某个变化过程中，在自变量的某个变化过程中， 若对应的函数值无限接近于若对应的函数值无限接近于 某个确定的常数，某个确定的常数， 那么，这个确定的常数就叫做这一变化过那么，这个确定的常数就叫做这一变化过 程中函数的极限程中函数的极限 函数极限的描述性定义函数极限的描述性定义 一、基本理论一、基本理论一、基本理论一、基本理论 xyOA2函数极限的函数极限的函数极限的函数极限的εεεε- - - -δδδδ定义定义定义定义: : : :注注注注1:1:1:1:注注注注3:3:3:3:注注注注2:2:2:2:3几何解释：几何解释：xyOA。

f(x)局局部有界此式表明此式表明 f(x)在在 内既有上界，内既有上界，又有下界，即又有下界，即: : 42. 极限的局部保号性极限的局部保号性定理定理定理定理1:1:1:1:5由定理由定理1定理定理定理定理1’: 1’: 1’: 1’: 定理定理定理定理2:2:2:2:问题：问题：问题：问题：比较定理比较定理1、、2，注意，注意“＞＞”和和“≥”，为什么？，为什么？ 63. 左、右极限，函数极限存在的充分必要条件左、右极限，函数极限存在的充分必要条件左、右极限：左、右极限：左、右极限：左、右极限：7左、右极限的左、右极限的左、右极限的左、右极限的εεεε- - - -δδδδ定义定义定义定义: : : :左极限：左极限：左极限：左极限： 右极限：右极限：右极限：右极限： 注：注：注：注：定理定理3经常用于判断极限不存在的情况经常用于判断极限不存在的情况极限存在的充要条件极限存在的充要条件极限存在的充要条件极限存在的充要条件(38(38题题题题) ) 定理定理定理定理3 3 3 3：：：：84. 时函数时函数 的极限的极限 函数极限函数极限函数极限函数极限ε ε——X X定义：定义：定义：定义： --------描述性定义。

描述性定义9单边极限的定义单边极限的定义单边极限的定义单边极限的定义: : : :10的的水平渐近线水平渐近线水平渐近线水平渐近线水平渐近线水平渐近线: : 的图形的图形-1111定理定理定理定理: : : : 证证（必要性）（必要性）则则即即①①当当②②当当即即（充分性）（充分性）则则取取则只要则只要恒有恒有126. 数列极限与函数极限之间的关系数列极限与函数极限之间的关系 若若 存在，必有存在，必有 存在 反之，若反之，若 不存在，不存在， 一定不存在一定不存在 数列是以正整数集为定义域的函数，即数列是以正整数集为定义域的函数，即 因此数列的极限因此数列的极限 可以看成是函数可以看成是函数 当当自变量取正整数自变量取正整数n，并趋于正无穷大时的极限并趋于正无穷大时的极限 （（1）） （（2））无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一 （（3））收敛数列的有界性是整体概念，即若收敛数列的有界性是整体概念，即若 存在，则对存在，则对 而对于函数而对于函数 存在，则只能推得函数在存在，则只能推得函数在 的某个的某个 邻域有界，即邻域有界，即 13证证 例例1 1 用定义证明用定义证明 二、例题二、例题二、例题二、例题 用极限的定义证明用极限的定义证明 函数的极限，关键函数的极限，关键 是找到是找到P314难找，难找， 对不等式对不等式适当放大适当放大 15即即取取则当则当有有注：注：注：注：用定义证明函数极限用定义证明函数极限 的步骤的步骤 ③③取取 ①① 由不等式由不等式 经一系列地放大可得：经一系列地放大可得： （其中（其中C为常数）为常数） ②② 解不等式解不等式 得得 则当则当 时，总有时，总有 即即 16例例3 3 证明：当证明：当 时，时， 证证: 对于对于 由于由于 要使要使 只要只要 即即 为保证为保证 有定义，用有定义，用 来限制。

来限制 取取 则当则当 时，时， 所以所以 171证证例例4 18注：注：注：注：用定义证明函数极限用定义证明函数极限 的步骤的步骤 ③③取取 ①① 由不等式由不等式 经一系列地放大可得：经一系列地放大可得： （其中（其中C为常数）为常数） ②② 解不等式解不等式 得得 则当则当 时，总有时，总有 即即 19例例5 讨论函数讨论函数 当当时，函数时，函数的极限的情况的极限的情况因为：因为：因为：因为： 1-1而当而当从从的右边逼近于的右边逼近于时，函数值在时，函数值在-1与与1之间振荡，即之间振荡，即不存在由定理由定理3知：知：20解：解：例例6 （（记录）记录） 例例7 证明证明 不存在 证证 设设 取取 及及 当当 时，时， 而而 不存在 （（记录）记录）21注：注：注：注：极限不存在的几种典型例子极限不存在的几种典型例子 ①①趋于趋于 如：如： ②② 振荡，如：振荡，如： ③③左、右极限不相等，左、右极限不相等， 单侧极限不相等，如：单侧极限不相等，如： 所以，所以， 不存在。

不存在 所以，所以， 不存在 2223。