人教版八年级数学上册全等三角形《角平分线的性质》公开教学课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,12.3,角的平分线的性质,第,1,课时 角平分线的性质,人教版数学八年级上册,第十二章,全等三角形,学习目标,1,.,能用尺规完成基本作图,:,作一个角的平分线,.,2,.,探索并证明角平分线的性质定理,.,3,.,会应用角的平分线的性质解决相关问题,.,新课导入,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角,.,你有什么办法？,A,O,B,C,再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？,对折,尺规作角平分线,一,新知讲解,下图是一个平分角的仪器，其中,AB,=,AD,，,BC,=,DC,.,将点,A,放在角的顶点，,AB,和,AD,沿着角的两边放下，,沿,AC,画一条射线,AE,，,AE,就,是这个角的平分线,你能说明,它的道理吗？,A,B,D,C,E,证明：,在,ACD,和,ACB,中,AD=AB,（已知）,DC=BC,（已知）,CA=CA,（公共边）,ACD,ACB,（,SSS,）,CAD,=,CAB,（全等三角,形的对应角相等）,AC,平分,DAB,（角平分线的定义）,A,D,B,C,E,【,思考,】,如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？,A,B,O,请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系,.,提示,(,1,),已知什么？求作什么？,(,2,),把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢,?,(,3,),在平分角的仪器中，,BC=DC,，,怎样在作图中体现这个过程呢？,(,4,),你能说明为什么,OC,是,AOB,的平分线吗？,A,B,M,N,C,O,已知,:,AOB.,求作：,AOB,的平分线,.,仔细观察步骤,作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢,!,作法：,（,1,）以点,O,为圆心，适当长为半径画弧，交,OA,于点,M,，交,OB,于点,N,.,（,2,）分别以点,M,，,N,为圆心，,大于,MN,的长为半径画弧，两弧在,AOB,的内部相交于点,C,.,（,3,）,画射线,OC,.,射线,OC,即为所求,.,半径小于,MN,或等于,MN,，可以吗？,已知：平角,AOB.,求作：平角,AOB,的角平分线,.,结论：,作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法,.,A,B,O,C,1.,操作测量,：取点,P,的三个不同的位置，分别过点,P,作,PDOA,，,PE OB,点,D,、,E,为垂足，测量,PD,、,PE,的长,.,将三次数据填入下表：,2.,观察测量结果，猜想线段,PD,与,PE,的大小关系，写出结：,_,PD,PE,第一次,第二次,第三次,C,O,B,A,PD=PE,p,D,E,实验：,OC,是,AOB,的平分线，点,P,是射线,OC,上的任意一点,猜想：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,角平分线的性质,二,新知讲解,验证猜想,已知：如图，,AOC,=,BOC,点,P,在,OC,上，,PD,OA,PE,OB,垂足分别为,D,E,.,求证：,PD=PE,.,P,A,O,B,C,D,E,证明：,PD,OA,PE,OB,，,PDO,=,PEO,=90.,在,PDO,和,PEO,中，,PDO,=,PEO,，,AOC=BOC,，,OP=OP,，,PDO,PEO,(AAS).,PD=PE,.,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即,1.,明确命题中的已知和求证；,2.,根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；,3.,经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程,.,方法归纳,性质定理：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,应用所具备的条件：,（,1,）,角的平分线；,（,2,）,点在该平分线上；,（,3,）,垂直距离,.,定理的作用：,证明线段相等,.,应用格式：,OP,是,AOB,的平分线，,PD=PE,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个,.,知识要点,PD,OA,PE,OB,，,B,A,D,O,P,E,C,判一判：,（,1,）,如下左图，,AD,平分,BAC,（,已知），,=,，,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,B,A,D,C,(2),如上右图,，,DC,AC,，,DB,AB,（已知）,.,=,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,B,A,D,C,例,1,：,已知：如图，在,ABC,中，,AD,是它的角平分线，且,BD=CD,DE,AB,DF,AC,.,垂足分别为,E,F,.,求证：,EB=FC,.,A,B,C,D,E,F,证明：,AD,是,BAC,的角平分线，,DE,AB,DF,AC,，,DE=DF,DEB=DFC,=90.,在,Rt,BDE,和,Rt,CDF,中，,DE=DF,，,BD=C,D,，,Rt,BDE,Rt,CDF,(HL).,EB=FC,.,典例分析,例,2,:,如图，,AM,是,BAC,的平分线，点,P,在,AM,上，,PDAB，PEAC，,垂足分别是,D,、,E，PD=4cm，,则,PE=_cm.,B,A,C,P,M,D,E,4,温馨提示：,存在两条垂线段直接应用,A,B,C,P,变式：,如,图，在,Rt,ABC中，AC=BC,C90,，AP平分BAC交BC于点P，若PC4,AB=14.,（1）则点P到AB的距离为_.,D,4,温馨提示：,存在一条垂线段构造应用,A,B,C,P,变式：,如图，在,Rt,ABC中，AC=BC,C90,0,，AP平分BAC交BC于点P，若PC4，,AB=14.,（,2,）求,APB,的面积,.,D,（,3,）求PDB的周长,.,AB,P,D,=28.,由垂直平分线的性质，可知，,PD=PC=4,，,=,1.,应用角平分线性质：,存在,角平分线,涉及,距离问题,2,.,联系角平分线性质：,面积,周长,条件,知识与方法,利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解,2.,ABC,中,C=90,AD,平分,CAB,且,BC,=8,BD,=5,则,点,D,到,AB,的距离是,.,A,B,C,D,3,E,1.,如图，,DE,AB,，,DF,BG,，,垂足分别是,E,，,F,，,DE=DF,，,EDB,=60,，,则,EBF,=,度，,BE,=,.,60,BF,E,B,D,F,A,C,G,随堂练习,3.,用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明,AOC,=,BOC,的依据是（）,A.SSS B.ASA,C.AAS D.,角平分线上的点到角两边的距离相等,A,B,M,N,C,O,A,4.,如图，,AD,是,ABC,的角平分线，,DEAB,，垂足为,E,，,S,ABC,7,，,DE,2,，,AB,4,，则,AC,的长是,(,),A6 B5 C4 D3,D,B,C,E,A,D,解析：,过点,D,作,DFAC,于,F,，,AD,是,ABC,的角平分线，,DEAB,，,DF,DE,2,，,解得,AC,3.,F,方法总结：,利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法,E,D,C,B,A,6,8,10,5.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则：,(1)哪条线段与DE相等？为什么？,(2)若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED的周长.,解：,(1),DC=DE.,理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等,.,（,2,）在,Rt,CDB,和,Rt,EDB,中，,DC,=,DE,，,DB,=,DB,，,Rt,CDB,Rt,EDB,(HL),，,BE,BC=,8.,AE,AB-BE=,2.,AED,的周长,=,AE+ED+DA=,2+6=8.,6.,如图，已知,AD,BC,，,P,是,BAD,与,ABC,的平分线的交点，,PE,AB,于,E,，且,PE,=3,，求,AD,与,BC,之间的距离,.,解：过点,P,作,MN,AD,于点,M,，交,BC,于点,N,.,AD,BC,，,MN,BC,，,MN,的长即为,AD,与,BC,之间,的距离,.,AP,平分,BAD,PM,AD,PE,AB,，,PM,=,PE.,同理，,PN,=,PE.,PM,=,PN,=,PE=,3,.,MN=,6.,即,AD,与,BC,之间的距离为,6.,7.,如图所示，D是ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF.,证明：,CD,是,ACG,的平分线，,DE,AC,，,DF,CG,，,DE,DF,.,在,Rt,CDE,和,Rt,CDF,中，,Rt,CDE,Rt,CDF,(HL),，,CE,CF,.,角平分线,尺规作图,属于基本作图，必须熟练掌握,性质定理,一个点：,角平分线上的点；,二距离：,点到角两边的距离；,两相等：,两条垂线段相等,辅助线,添加,过角平分线上一点向两边作垂线段,课堂小结,。