2019版一轮优化探究理数第十一章第七节分类计数原理与分步计数原理练习.doc

苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习1一、填空题1．三边长均为整数，且最大边长为 11 的三角形的个数为________．解析：设另两边长分别为 x、y，且不妨设 1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当 y 取 11 时，x＝1,2,3，…，11，可有 11 个三角形；当 y 取 10 时，x＝2,3，…，10，可有 9 个三角形；……；当 y 取 6 时，x 只能取 6，只有 1 个三角形．∴所求三角形的个数为 11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：362．将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当 3,4 固定在图中的位置时，填写空格的方法种数为________．34解析：如图所示，根据题意，1,2,9 三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在 a，c 位置，8 只能在 b，d 位置，依(a，b，c，d)顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7, 5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计 6 种.12a34bcd9答案：63.如图，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为________．解析：可依次种 A、B、C、D 四块，当 C 与 A 种同一种花时，苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习2有 4×3×1×3＝36(种)种法；当 C 与 A 所种花不同时，有 4×3×2×2＝48(种)种法，由分类计数原理，不同的种法总数为 36＋48＝84.答案：844．直线方程 Ax＋By＝0，若从 0,1,2,3,5,7 这 6 个数字中任取两个不同的数作为A、B 的值，则可表示________条不同的直线．解析：分成三类：A＝0，B≠0；A≠0，B＝0 和 A≠0，B≠0，前两类各表示 1条直线；第三类先取 A 有 5 种取法，再取 B 有 4 种取法，故有 5×4＝20(种)．所以可以表示 22 条不同的直线．答案：225.如图，某电子元件，是由 3 个电阻组成的回路，其中有 4 个焊点 A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种．解析：解法一 当线路不通时焊点脱落的可能情况共有 2×2×2×2－1＝15(种)．解法二 恰有 i 个焊点脱落的可能情况为 C (i＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，i 4当电路不通时焊点脱落的可能情况共 C ＋C ＋C ＋C ＝15(种)．1 42 43 44 4答案：156．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．答案：45 547．从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a，b，共可得到lg a－lg b 的不同值的个数是________．解析：由于 lg a－lg b＝lg (a>0，b>0)，从 1,3,5,7,9 中任取两个作为 有 A ＝20abab2 5种，又 与 相同， 与 相同，∴lg a－lg b 的不同值的个数有13393193A －2＝20－2＝18.2 5答案：18苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习38．某次活动中，有 30 人排成 6 行 5 列，现要从中选出 3 人进行礼仪表演，要求这 3 人中的任意 2 人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．解析：其中最先选出的一个人有 30 种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个 5 行 4 列的队形，故选第二个人有 20 种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个 4 行 3 列的队形，此时第三个人的选法有12 种，根据分步计数原理，总的选法种数是 30×20×12＝7 200.答案：7 2009．已知集合 M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从 M，N 这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．解析：分两类：第一类，第一象限内的点，有 2×2＝4(个)；第二类，第二象限内的点，有 1×2＝2(个)．共 4＋2＝6(个)．答案：6二、解答题10．已知集合 A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f 是从 A 到 B 的映射．(1)若 B 中每一元素都有原象，这样不同的 f 有多少个？(2)若 B 中的元素 0 必无原象，这样的 f 有多少个？(3)若 f 满足 f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的 f 又有多少个？解析：(1)显然对应是一一对应的，即为 a1找象有 4 种方法，a2找象有 3 种方法，a3找象有 2 种方法，a4找象有 1 种方法，所以不同的 f 共有 4×3×2×1＝24(个)．(2)0 必无原象，1,2,3 有无原象不限，所以为 A 中每一元素找象时都有 3 种方法．所以不同的 f 共有 34＝81(个)．(3)分为如下四类：第一类：A 中每一元素都与 1 对应，有 1 种方法；第二类：A 中有两个元素对应 1，一个元素对应 2，另一个元素与 0 对应，有 C·C ＝12(种)方法；2 41 2第三类，A 中有两个元素对应 2，另两个元素对应 0，有 C ·C ＝6(种)方法；2 42 2第四类，A 中有一个元素对应 1，一个元素对应 3，另两个元素与 0 对应，有 C苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习4·C ＝12(种)方法．1 41 3所以不同的 f 共有 1＋12＋6＋12＝31 (个)．11．某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 7 人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解析：由题意得有 1 人既会英语又会日语，6 人只会英语，2 人只会日语．第一类：从只会英语的 6 人中选 1 人说英语，共有 6 种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有 6×3＝18(种)；第二类：不从只会英语的 6 人中选 1 人说英语，则只有 1 种方法，则选会日语的有 2 种，此时共有 1×2＝2(种)；所以根据分类计数原理知共有 18＋2＝20(种)选法．12．在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？解析：分 0 个相同、1 个相同、2 个相同讨论．(1)若 0 个相同，则信息为 1001.共 1 个．(2)若 1 个相同，则信息为 0001,1101,1011,1000.共 4 个．(3)若 2 个相同，又分为以下情况：①若位置一与二相同，则信息为 0101；②若位置一与三相同，则信息为 0011；③若位置一与四相同，则信息为 0000；④若位置二与三相同，则信息为 1111；⑤若位置二与四相同，则信息为 1100；⑥若位置三与四相同，则信息为 1010.共 6 个．故与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 1＋4＋6＝11.。