第一章 线性空间与线性变换.docx

第一章 线性空间与线性变换§1 线性空间的概念定义1如果复数的一个非空集合P含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商(除 数不为零)仍属于该集合，则称数集P为一个数域数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分特别地，每个数域 都包含整数0和1定义1 — 1设V是一个非空集合，P是一个数域如果(1) 在集合V上定义了一个二元运算“ + ”(通常称为加法)，使得，Vx,y G V，都有x + y g V ；(2) 在数域P的元素与集合V的元素之间还定义了数量乘法运算，使得V九G P,x G V有九 x G V ；( 3)上述两个运算满足下列八条规则：1) Vx, y G V，都有 x + y 二 y + x ； 2) Vx, y, z g V，有(x + y) + z 二 x + (y + z)；3) V中存在零元素，记为0，对于Vx g V，都有x + 9二x ；4) Vx g V，都有y g V，使得x + y =0y称为x的负元素；5) Vx g V，都有 1x = x ；V九，卩g P，Vx, y g V，下列三条成立：6) 九(px)=(九p)x ； 7)(九+ 卩)x = Xx +vx ； 8)九(x + y) = Xx + Xy，则集合V叫做数域P上的线性空间或向量空间。

当P是实数域时，V叫实线性空间；当 P是复数域时，V叫复线性空间例1 — 1若P是数域，V是分量属于P的n元有序数组的集合V 二｛(x , x，…,x ) I Vx G P｝，1 2 n i若对于V中任两元素X 二(x ,x，…,x )，Y 二(y , y，…，y )1 2 n 1 2 n及每个k G P (记作Vk G P )，定义加法及数量乘法为X + Y 二(x + y , x + y ,…,x + y )， kX 二(kx , kx，…,kx )1 1 2 2 n n 1 2 n则容易验证，集合V构成数域P上的线性空间这个线性空间记为Pn例1—2所有元素属于数域P的m x n矩阵组成的集合，按通常定义的矩阵加法及数与 矩阵的数量乘法，也构成数域P上的一个线性空间，并把它记为Pmxn例1 — 3若n为正整数，P是数域，则系数属于P而未定元为t的所有次数小于n的多 项式的集合这个集合连同零多项式在内，按通常多项式的加法及数与多项式的乘法构成数域P上的线性空间我们用P［t］代表这个空间若把“次数小于n的”这一限制取消，则也得 n到一个线性空间，并记为P［t］例1—4所有定义在区间［a,b］（a < b）上的实值连续函数构成的集合，按照函数的加法及数与函数的乘法，显然构成实数域上一个线性空间，记为R［a,b］。

定义 1—2 线性相关与线性无关设V是数域P上的线性空间，a ,a，…,a是V上的一组向量，如果P中有一组不全为1 2 n零的数k ,k，…,k，使得1 2 nk a + k a + …+ k a 二 0 1 — 11 1 2 2 n n则称向量a ,a，…,a线性相关；若等式1 — 1当且仅当k = k =…=k = 0时才成立，则1 2 n 1 2 n称这组向量是线性无关的定义1 — 3设V是数域P上的线性空间，如果V中存在一组向量，满足（1） 向量组线性无关；（2） V 中任一向量可由向量组线性表示则称该组向量构成V的一个基若V的一个基中向量个数为n，称n为V的维数，记为dim V二n ；若基中向量个数不 是有限数时，称V是无限维向量空间本书主要讨论有限维线性空间定理1 — 1设V是数域P上的n维线性空间，a ,a…,a是V的一个基，则V中任一1 2 n向量a都可以表示为这个基的线性组合，且表示式是唯一的向量在基下的坐标空间的维数§2 基变换与坐标变换2.1 基变换设V是数域P上的维线性空间，又a ,a…,a及P , P…,P是V的两个基假设这1 2 n 1 2 n两个基的关系（基变换）为P = a a + a1 ii iP = a a + a2 i2 iP = a an in i写成矩阵形式记为(片,P 2’…'Pa+…・+ a a2i 2ni na+ •…+ a a22 2n2 na+ •…+ a a2 n 2nn n(a ,a,a )Ai2naa …aiii2inaa …aA=2i222naa …anin2nn+ a1－41－5则称A是从基a ,a…,a到基p , p…，p的过渡矩阵。

i 2 n i 2 n2.2 坐标变换设向量在此二组基下的表示式分别为：么=工k aii=1=H i p ,iii=i则我们有从而有a = (a ,a，…’a )i 2 n(k)1k2Ikn丿r i)i12i12a =（卩,卩’…，卩）=(a ,a ,•..,a )Ai 2 n•i 2 n•、l丿丿丿nn§3 子空间与维数定理3.1 线性子空间定义1-4设V是数域P上的线性空间，W是V的一个非空子集如果W对于V所定义 的加法运算及数乘运算，也构成数域P上的线性空间，则称W是V的线性子空间，简称子空 间定理1—2 （W是V的线性子空间的充要条件）设W是数域P上线性空间V的一个非空 子集，则W是V的线性子空间的充要条件是：(1)若 x, y g W，则 x + y g W ；⑵ 若 x g W, X g P，贝皿 x e W证明可作为练习注：零子空间（其维数规定为0）及V本身称为平凡子空间例1—5在n维线性空间Pn中，子集W = i I Ax = 9 ,x e Pn L勾成了 Pn的一个n - r维的子空间，这里r是A e Pmxn的秩例1—6由数域P上线性空间V的m个向量a ,a，…,a生成的子空间: 1 2 m(k e P )。

iLa ,a，…,a )= k a + k a + …+ k a1 2 m 1 1 2 2 m m定理1一3设V1,V2是数域P上线性空间V的两个子空间，则W = V1 A V2也是V的子 空间证明：首先由于9 g W，所以W非空以下利用定理1—2证明定理1 — 4 设V], V2是数域P上线性空间V的两个子空间，则它们的和 V] + V2 = & + y I x e V],y e V? ｝也是V 的子空间证明：由于9 g V1,V2，所以9=9+9e W，即W非空以下利用定理1—2证明例 1—4 L(a ,a ,…,a ) + L(p ,p，…，p ) = L(a ,a ,…,a ,p , p ,…，p )1 2 s 1 2 t 1 2 s 1 2 t3.2 子空间的维数与直和定理1—5 (维数公式)设V是数域P上的n维线性空间，V],V2是它的两个子空间，则有维数公式：dimV] + dimV? = dim(Vi + V?) + dim(Vi D V?)，或写作 dim(V] + V?) = dim V] + dim V? - dim(V] D V?)证明思路:假设dimV] = r, dimV? = s, dim(V] + V?) = k, dim(V] D V?) = t。

在 V] D V?中选取一组基a ,a，…,a，并将它扩充成为匕的一组基a ,a…,a ,a ，…,a以及V?的 1 ? t 1 1 ? t t+1 r ?一组基a ,a…,a ,p ，…，p再证明1 ? t t +1 sa ,a •…,a ,a ，•…,a ,p ，•…,p 1 —111 ? t t +1 r t +1 s是V1 + V?的一组基，即有dim(V1 + V?) = r + s - t证明过程分为两步：第一步证明岭+ V? 中的任一向量可由向量组1—11线性表示第二步证明向量组1—11是线性无关的推论 若n维线性空间V的两个子空间的维数之和大于n，则V] D V?中必含有非零向 量定义1—8设V1,V?是线性空间V的两个子空间，如果这两个子空间的和W = V] + V?具有性质：Va e W，分解式a =a +a (其中a e V ,a e V )是唯一的，则称子空间匕1 ? 1 1 ? ? 1与伙?的和W = V1 + V?为直和，并记为“ =V1㊉V?例1 — 4 设有四维空间R 4的三个子空间：V] = b,0,0)l a,b e r｝， V?=紅,0,c,0)l c e R｝； V3 = *0,d,e,O)l d,e e R｝。

则 T =匕 + 匕不是直和，但T =匕 + V? 是直和定理1—6 关于子空间的直和，下列命题是等价的：(1) V + V中任一向量以的分解式是唯一的；12(2) V + V中的6向量的分解式是唯一的；12(3) V A V = {6}12证明 (1) = (2),取«二0，显然2) = (3),若V AV含有非零向量则有120 = a + (-a)推知零向量6有两种不同的分解式，所以V A V = {6}12(3) = (1)，我们来证其中任一向量a的分解式是唯一的 对V + V中任一向量a,设有分解式12a =a +a (a e V， a e V)1 2 1 1 2 2a = p +p ( p e V，p eV )1 2 1 1 2 2则由上两式相减即得a -p + (a -p ) = 0，1 1 2 2即 (a — p ) = — (a — p )1 1 2 2但是 a —p eV， a —p eV ， —(a —p )eV1 1 1 2 2 2 2 2 2所以 Q — B ) = —Q — P ) w V A V1 1 2 2 1 2即 a = p , a = p1 1 2 2亦即V +V中任一向量a的分解式是唯一的。

12定理6线性空间V的两个子空间V], V2的和是直和，则dim(V1 ㊉ 9 = dim V1 + dim V2注：该定理的结论可以推广到有限个子空间直和的情形§4 线性空间的同构4.1 同构的定义定义1数域P上的两个线性空间V与V'是同构的，如果V与V'之间存在一个一一对应 的映射b，使得对任意的x,y w V及九w P均满足：(X + y )=G(x)+G(y )；(2) b(Xx)= Xa(x)0b就称为从V到V'的同构映射注：数域P上每个n维线性空间V与Pn同构在V中取定一组基ei，e2,…,en设X,y是V中的任二向量，九是P中的任意数，则有:x =乙£ +g2e2 + …+ g e ； y =nie1 +%e2 + …+耳 e ；1 1 2 2 1 1 2 2Ax 二(X^i )ei +(九J)e 2 + …+ 九(g )e。