2024年初一数学竞赛试题一.doc

初一奥赛自测题一甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？ S的末四位数字的和是多少？4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的旅程．5．求和：6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．8.若a、b、c均为整数，且∣a－b∣3＋∣c－a∣2＝1，求∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣的值9．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除10．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的二分之一　　　因此 　　　　x=5000(元)．　　　　因此S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．3．因为　 　　a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡旅程为x千米，下坡旅程为y千米．依题意则　　有　　由②有　　　　　　　　　　2x+y=20，　　　　　　　　　　 ③　　由①有y=12-x．将之代入③得2x+12-x=20．　　因此　　　　x=8(千米)，于是y=4(千米)．5．第n项为　　因此　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，因为r＜30，因此r的最小质约数只也许为2，3，5．再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．因此，r一定不是合数．7．设　　由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)．　　可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，因此m=1，2，3．下面分别研究p，q．(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不也许的，故m=2时无解．(3)若m=3时，有解之得故p＋q=8．　　8.解: ∵∣a－b∣3＋∣c－a∣2＝1,并且a、b、c均为整数∴∣a－b∣和∣c－a∣=0或1∴当∣a－b∣=1时∣c－a∣=0,则c=a, ∣c－b∣=1∴∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣=0+1+1=2当∣a－b∣=0时∣c－a∣=1,则b=a, ∣c－b∣=1∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣=1+1+0=29．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，因此3｜(x2＋xy＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．因此3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．10．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，因此　　　上述两式相加　　另首先，S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．　　因此只需证明S△AND＝S△CNP＋S△DNP．　　因为M，N分别为AC，BD的中点，因此S△CNP=S△CPM-S△CMN　 　=S△APM-S△AMN　=S△ANP．　　又S△DNP=S△BNP，因此S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．初一奥赛自测题二1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋的值。

2．某商店出售的一个商品，天天卖出100件，每件可赢利4元，目前他们采取提升售价、减少进货量的措施增加利润，依照经验，这种商品每涨价1元，天天就少卖出10件试问将每件商品提价多少元，才能取得最大利润？最大利润是多少元？3．如图1－96所示已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°求证：DA⊥AB4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为求a2＋b2＋c2的值5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(已知一年期定期储蓄年利率为5.22％)7．对k，m的哪些值，方程组最少有一组解？8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+　　　　　 =2x×1＋3×1-2x+　　　　 　=．2．本来天天可赢利4×100元，若每件提价x元，则每件商品赢利(4＋x)元，但天天卖出为(100-10x)件．假如设天天赢利为y元，则y ＝(4＋x)(100-10x)　　=400＋100x-40x-10x2　　　　=-10(x2-6x＋9)＋90＋400　=-10(x-3)2＋490．因此当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，天天赢利最大，为490元．3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，因此∠ADC＋∠BCD=180°，因此 　　　　　　　　　　　　　　　AD∥BC．又因为　　　　　　　　　　　　　　 AB⊥BC，由①，②AB⊥AD．4．依题意有　　　　　　因此　　　　　　　a2+b2+c2=34．5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，因此(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，因此因此有6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则　　因为　　　　　　　　　　　　　y=35000-x，　　因此x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，　　因此1.3433x＋48755-1.393x=47761，　　因此 　　　　　　　　　　　0.0497x=994，　　因此 　　　　　　　　　　　x=0(元)，y=35000-0=15000(元)．7．因为(k－1)x＝m-4， ①　　m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，因此方程组有无穷多组解．当k=1，m≠4时，①无解．因此，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组最少有一组解．8．由题设方程得z＝3m-y．　　x=19-y-4(3m-y)-m　　=19+3y-13m．　　原方程的通解为　　　其中n，m取任意整数值．9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则　　消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t，z=180-12t．　　代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．　　x=20，y=8，z=12．因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果最少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．初一奥赛自测题三1．解有关x的方程2．解方程其中a＋b＋c≠0．3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．　　5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超出x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．　　6．设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．　　7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲通过9小时到东站，乙通过16小时到西站，求两站距离．　　8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这么继续下去，最后得到19，1997，1999，问本来的三个数能否是2，2，2？　　9．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且　　求证：n是4的倍数．自测题四　　1．已知a，b，c，d都是正数，并且a＋d＜a，c＋d＜b．　　求证：ac＋bd＜ab．　　2．已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍．因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍．调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提升了2％，求乙种商品提价的百分数．　　3．在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数．求三角形的三个内角．　　4．某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增加的百分数就相同，并且第三年的产量恰为原计划三年总产量的二分之一，求原计划每年各生产多少台？　　　　　z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜，　　求z的最大值与最小值．　　8．从1到500的自然数中，有多少个数出现1或5？　　9．从19，20，21，…，98这80个数中，选用两个不一样的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？自测题五　　1．一项任务，若天天超额2件，可提前计划3天完工，若天天超额4件，可提前5天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间．　　2．已知两列数2，5，8，11，14，17，…，2＋(200-1)×3，5，9，13，17，21，25，…，5＋(200-1)×4，　　它们都有200项，问这两列数中相同的项数有多少项？　　3．求x3-3px＋2q能被x2＋2ax＋a2整除的条件．　　4．证明不等式　　5．若两个三角形有一个角对应相等．求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比．　　6．已知(x-1)2除多项式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的余式是x+1，试求a，b的值．　　7．今有长度分别为1，2，3，…，9的线段各一条，可用多少种不一样措施，从中选用若干条，使它们能围成。