上册第二章第1-3节定义;命题;公理与定理.docx

课程信是年 级初三学科丨数学版 本湘教版内容标题§2.1定义 §2.2命题 §2.3公理与定理编稿老师阳矩红【本讲教育信息】一. 教学内容：§2.1 定义§2.2 命题 §2.3 公理与定理［教学目标］ 知识与技能：1. 了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的条件和结论，奠定推理论证 的基础2. 了解公理与定理的含义以及二者的区别 过程与方法：3. 初步体会命题真假判断的过程，体会公理化思想 情感、态度与价值观：4. 探索命题真假的过程，体会学数学的乐趣5. 通过欧几里得的原本，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值二. 重点、难点：（一）教学重点：1. 了解定义的概念、命题的构成，会区分真命题和假命题2. 公理与定理是作为判断命题真假过程中的依据一般来说，命题真假的判断不能凭直 觉和想当然，每一步推理必须有理有据，而定义、公理、定理就是我们推理过程的主要依据二）教学难点：1. 能举反例说明一个命题是假命题2. 判定逆定理的存在性［方法指导］1. 会判定一个语句是否为命题，注意两条：（1）命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句）2）必须对某件事情作出肯定或者否定的判断。

2. 要能找出命题的条件和结论，一般情况下，命题也可写成“如果……，那么……”或“若……，则……”等形式其中“如果”或“若”引出的部分是条件，有时这些字样前面 还有前提条件这个前提条件也属于条件，“那么”或“则”引出的部分是结论对于条件 和结论不明显的命题，要经过分析，先把它改写成“如果……，那么……”的形式，然后再 确定条件和结论3. 要会判定一个命题是真命题还是假命题真命题需要依据公理、定理等推理证明，假 命题需要举出反例加以说明4. 公理是人们在长期的实践中总结出来的公认的正确的命题，是判定其他命题真假的根 据；定理是经过推理论证为真命题的命题［主要内容］(一)定义1. 定义是对于一个概念的特征性质的描述1) 定义必须是严密的，要避免使用含糊不清的术语，比如：“一些”，“大概”，“差不 多”等不能在定义中出现2) 定义是几何推理的依据，教材中列举的定义要正确理解、熟练识记，为以后的推 理做好知识准备比如：若AB丄CD于0,则ZAOC = 90° (垂直定义) 反过来，若ZAOC = 90则AB丄CD (垂直定义) 定义既可当性质用,也可当判定用,是我们思考问题的出发点和目标二) 命题的定义及结构、形式( 1 )判断一件事情的句子，叫做命题。

不是所有的句子都称为命题，只有那些能判断是非，辨别真假的句子才是命题，各种形 式的句子，只有构成为“是”或“不是”的形式，才能称为命题例如：“我很喜欢老师”， “今天的天气多么好啊！”“这个道理你明白吗？”等都不是命题要想使之成为命题，都需 改为“是”或“不是”的形式 2 )每个命题都是由条件和结论两部分组成 条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是 条件，“那么”引出的部分是结论 3)真命题和假命题 如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题 如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题 的结论，这种例子称为反例 4)互逆命题 如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题称为互逆的命 题，其中一个作为另一个的逆命题例如：命题“相等的角是对顶角”与命题“对顶角相等”是互逆的命题一个命题为真， 但不一定能保证它的逆命题为真三) 公理与定理1. 公理就是公认的真命题，是人们在长期实践中总结出来的认定的真命题，它作为证明 的原始依据。

我们湘教版教材到目前为止选择的十条公理：( 1 )等量加等量，和相等 2 )等量减等量，差相等3) 等量代换(即：如果a=b,且b = c,那么a=c) 4)整体大于部分 5)通过两点有且只有一条直线 6 )连结两点的所有连线中，线段最短 7)经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行8) 平移不改变图形的形状和大小，平移不改变直线的方向9) 轴反射不改变图形的形状和大小10) 旋转不改变图形的形状和大小2. 定理是经过证明的真命题 定理可以作为判断其他命题的真假的依据如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆 的定理要求同学们熟记教材中列举的定理和逆定理，为后面的几何推理、论证奠定基础典型例题】知识点 1：定义和命题例 1. 在下列空格上填写适当的概念1) 能够完全重合的两个图形叫做 2) 两组对边分别平行的四边形叫做 3) 连结三角形一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的 4) 是有公共端点的两条射线组成的几何图形请同学们去熟悉书本上的一些定义，并能说出来例 2. 下列语句中不是命题的有( )(1) 两点之间，直线最短2) 不许大声讲话3) 连结A、B两点。

4 )花儿在春天开放 5)不相交的两条直线叫做平行线6)无论n为怎样的自然数，式子n2 一 n + 11的值都是质数吗？A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个知识点 2：命题的结构和种类划分例3.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出其条件和结论 ( 1)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等2) 菱形的四条边都相等3) 全等的两个三角形的面积相等 4 )对顶角相等 5 )等角的余角相等6)两点确定一条直线结论：那么这两个三角形全等 那么这个四边形的四条边相等 那么这两个三角形的面积相等 那么这两个角相等 那么它们的余角也相等 那么能够画而且只能画一条解：条件：(1) 如果两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等(2) 如果一个四边形是菱形(3) 如果两个三角形全等(4) 如果两个角是对顶角(5) 如果两个角相等(6) 如果过两已知点画直线说明：有些命题条件和结论不明显，这时一般先添上省略去的词语，改写成“如果那么……”的形式，有时需要适当增减词语，保证句子叙述通顺而不改变原意例 4. 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题，对于假命题请举 出反例。

1) 画线段 AB = 3cm2) 平行于同一条直线的两条直线互相平行3) 两条直线相交，有几个交点？( 4 )相等的角都是直角5)如果a2 二 b2，那么a = b 6 )直角都相等解 (1)、(3)不是命题，因为句子中没有作出任何判断 2 )、( 6 )是真命题 4 )、( 5 )是假命题对于(4),比如：ZA=30°,ZB = 30°,ZA=ZB，但ZA、ZB 都不是直角 对于(5),如：当a = 一5，b = 5时，a2 = 25， b2 = 25,满足a2 =b2，但 a 丰b结论不成立知识点 3：公理与定理例 5.如图，ZB=ZC, B、A、D 在同一直线上，ZDAC=ZB + ZC, AE 是ZDAC 的 平分线求证：AE〃BC证明：VZB + ZC=ZDAC且ZB = ZC ( )AZB = 1 ZDAC ( )2TAE 是ZDAC的平分线( )AZ1 = 1 ZDAC ( )2AZB = Z1 ( ).•・AE〃BC ( )请同学们阅读上述证法,并填写推理根据知识点 4：逆定理与互逆定理例 6. 下列定理有逆定理吗？如果有,把它写出来；如果没有,说明理由(1) 角平分线上的点到角两边的距离相等。

2) 对顶角相等解 ( 1 )有逆定理到一个角两边距离相等的点,在这个角的角平分线上利用三角形全等可以证明2）没有逆定理 比如：相等的角可能是平行线内错角、同位角或全等图形的对应角，但它们不是对顶角创新题：根据命题推理例 7. 小王、小张和小李在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士，现在知道：小 李比战士年龄大，小王和农民不同岁，农民比小张年龄小，那么谁是工人，谁是农民、战士？ 分析推理： “小李比战士年龄大”说明小李不是战士；小李年龄大于战士年龄 “农民比小张年龄小”说明小张不是农民，小张年龄大于农民年龄小王与农民不同岁”说明小王不是农民 既然小王和小张都不是农民，那么小李是农民 根据上面结论知道他们年龄从大到小顺序是：小张、农民、战士 因此，小王是战士，小张是工人模拟试题】（答题时间：40 分钟）一. 填空题1. 梯形的定义是： 2. 把命题“等边三角形的每一个内角都为60° ”改成“如果……，那么……”的形式为3. 定理“等角对等边”的逆定理是： 4. “两负数之积为正数”的条件是 ，结论是 5. 下列语句是命题的，请将序号填在横线上： ① 延长线段AB到C,使BC=AB② 若x > 2，则-5x < 0③ 画角ZAOB的平分线OC④ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等⑤ 开发大西北⑥ 你好，小燕子！⑦ 快走！不然就迟到了。

⑧ “WTO”所指的是什么？6. 写出一条平行线的性质定理： 选择题1. 命题“度数之和为 90°的两个角互为余角”的条件是（ ）A. 90°B. 两个角C. 度数之和为 90°D. 度数之和为 90°的两个角2. 下列命题中假命题有（ ）（1） 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形2） 一组对边平行，一个对角相等的四边形是平行四边形3） 正比例函数一定是一次函数4） 速度一定，路程和时间成正比例关系A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个3. 举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题错误的是（ ）A. 设这个角是45°，它的余角是45°，但45°=45°B. 设这个角是30°，它的余角是60°，但30°<60°C. 设这个角是60°，它的余角是30°，但30°<60°D. 设这个角是50°，它的余角是40°，但40°<50°4. “两直线相交只有一个交点”这个命题的条件是（ ）A. 两条直线 B. 相交C. 只有一个交点 D. 两条直线相交5. 若m、n、p为三个正实数，如果m- n = p，那么m > p之成立的依据是（ ）A. 等量加等量和相等B. 等量减等量差相等C. 不等式的基本性质D. 整体大于部分6. 下列定理存在逆定理的有（ ）（ 1 ）等腰梯形的两条对角线相等。

2 ）矩形的对角线相等3） 正方形的四个角都是直角4） 如果一个三角形的三边a、b、c满足a2 + b2二c2，那么这个三角形是直角三角 形A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7. 下列命题中是假命题的是（ ）A. 直角的补角是直角B. 钝角的补角是锐角C. 垂线段最短D. 同旁内角互补三. 解答题1. 有下列三个结论：（1） a > b ；（2）b > c ；（3）c = d 请你以其中两个为条件，写出2 个真命题2. 下列定理有逆定理吗？如果有，把它。