高中数学常用逻辑用语的解题方法归纳.docx

§1.2.常用逻辑用语一、 知识导学1. 逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“ A ”“V ”“「”表示.2. 命题：能够判断真假的陈述句.3. 简单命题：不含逻辑联结词的命题4. 复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式:p或q； p且q； 非p5. 四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若「p则「q ;逆 否命题：若「q则「p.6. 原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”台“若「q则「p ” .7. 反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假， 即“若p则q”为真.8. 充分条件与必要条件：① p =^q ： p是q的充分条件；q是p的必要条件；② p Oq ： p是q的充要条件.9. 常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个” “任给”等；并 用符号“ V ”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10. 常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“ 3 ”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、 疑难知识导析1.基本题型及其方法(1) 由给定的复合命题指出它的形式及其构成；(2) 给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；(3) 给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别 是互为逆否命题的等价性判断命题的真4注意：否命题与命题的否定是不同的(4) 判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义(5) 证明p的充要条件岛；方法：分别证明充分性和必要性(6) 反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结反证法是通过证明命题的结论的反面不成立 而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一注：常见关键词的否定：关键词是都是(全是)> (V )至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是(全是)< (>)一个也没有至少有两个存在任意2.全称命题与特称命题的关系:全称命题p: Vx e M, p(x),它的否定或:3x e M,「p(x)；特称命题p： 3x e M, p(x), 它的否定」p : Vx e M,^p(x)；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命 题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲［例1］把命题“全等三角形一定相似”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命 题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相彳以逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定“一定不”，在逻辑知识中求否定相 当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思对这些内容的学习要多与日常生活中的 例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.［例2］将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出否命题a>o时，函数y=ax+b的值随 x值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o时，x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件，将“随着”看作结论，而x的值 增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o时，则函数y=ax+b的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a Vo时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题 错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把a>o看作前提，就 变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为：a>o时，若x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为：a>o时，若x的值不增加，则函数y=ax+b的值也不增加.原命题也可改为：当x的值增加时，若a>o，，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为：当x增加时，若a Vo，则函数y=ax+b的值不增加.［例3］已知h>0，设命题甲为：两个实数a、b满足|a -b\ < 2们 命题乙为：两个实数a、b满足a—ii< h且b—1< h，那么A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件错解：|a — b < 2h o \(a — 1) — (b — 1)| < 2h = h + h o I a — 1I< h , I b — 1I< h关键词是都是(全是)> (<)至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是(全是)< (>)一个也没有至少有两个存在任意2.全称命题与特称命题的关系:全称命题p: Vx e M, p(x),它的否定或:女e M,「p(x)；特称命题p:女e M, p(x), 它的否定-P : Vx e M,^p(x)；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命 题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲［例1］把命题“全等三角形一定相似”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相彳以逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定“一定不”，在逻辑知识中求否定相 当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思对这些内容的学习要多与日常生活中的 例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.［例2］将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出否命题a>o时，函数y=ax+b的值随 x值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o时，x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件，将“随着”看作结论，而x的值 增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o时，则函数y=ax+b的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a Vo时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题 错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把a>o看作前提，就 变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为：a>o时，若x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为：a>o时，若x的值不增加，则函数y=ax+b的值也不增加.原命题也可改为：当x的值增加时，若a>o，，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为：当x增加时，若a Vo，则函数y=ax+b的值不增加.［例3］已知h>0，设命题甲为：两个实数a、b满足|。

b < 2们 命题乙为：两个实数a、b满足a—ii< h且b—ii< h，那么A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件错解：\a — b < 2h = \(a — 1) — (b-1)| < 2h = h + h = I a — 1I< h , I b — 1I< h故本题应选C.错因：(1)对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误;(2) 不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误f |a —1| < h 「— h < a — 1 < h正解：因为"7， 所以1 ，［|b —1|< h ［ — h < b — 1 < h两式相减得—2h < a — b < 2h故 |a 一 b\ < 2h即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.由于\a - 2| < h|b - 2| v h同理也可得|a - b\ v 2h因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.［例4］已知命题甲：a+b4,命题乙:a3，则命题甲是命题乙的 .错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙 的充分不必要条件.错因：对命题的否定不正确.a。

1且b3的否定是a=1或b=3.正解：当a+b4时,可选取a=1,b=5，故此时a1且b丰3不成立(a=1).同样，a丰1,且b丰3时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a3为真时，必须a1 ,b3同时成立.［例5］已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析：本题考查简易逻辑知识.因为pnr nsnq但r成立不能推出p成立，所以p n q，但q成立不能推出p成立，所 以选A解：选A［例6］已知关于x的一元二次方程(mGZ)① mx2—4x+4=0 ② X2—4mx+4m2—4m—5 = 0求方程①和②都有整数解的充要条件.解：方程①有实根的充要条件是A = 16 - 4 x 4 x m > 0,解得m< 1.方程②有实根的充要条件是A = 16m2 - 4(4m2 - 4m — 5) > 0，解得m >-5.4.•.-- < m < 1.而m e Z,故 m=—1 或 m=0 或 m=1.4当m=—1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m= 1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解....①②都有整数解的充要条件是m=1.［例 7］用反证法证明：若 a、b、c e R，且 x = a2 -2b +1， y = b2 -2c +1，z = c2 - 2a +1，则x、y、z中至少有一个不小于0.证明：假设x、y、z均小于0，即：x = a 2 - 2b +1 < 0 ①；y = b 2 一 2c +1 < 0 ②；z = c 2 - 2a +1 < 0 ③；①+②+③得 x + y + z = (a 一 1)2 + (b 一 1)2 + (c 一 1)2 < 0 , 这与(a -1)2 + (b -1)2 + (c -1)2 > 0 矛盾， 则假设不成立，•••x、y、z中至少有一个不小于0.［例8］已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：方程4x2+4(m—2)x+1=0无实根.若“p或q”为真，“P且q”为假，求m的取值范围.分析：“P或q”为真，则命题P、q至少有一个为真，“P且q”为假，则命题P、q至少 有一为假，因此，两命题P、q应一真一假，即命题P为真，命题q为假或命题P为假，命 题q为真.I A = m2 — 4 > 0解：若万程x2+mx+1=0有两不等的负根，则， 解得m>2,I m > 0即命题P： m>2若方程4x2+4(m—2)x+1 = 0无实根，则△ = 16(m—2)2—16=16(m2—4m+3)V0解得：1