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图形的折叠问题图形的折叠问题（复习课）（复习课）未屎拴邢容唱鹰唇猿潞传屋排伎替空然绚幕焰纫氨呻跋嘶胎硕洼垄图瓮像图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版 几何研究的对象是：几何研究的对象是：图形的形状、大小、图形的形状、大小、位置关系；位置关系； 主要培养三方面的能力：主要培养三方面的能力：思维分析能力、思维分析能力、空间想象能力和逻辑推理能力；空间想象能力和逻辑推理能力； 折叠型问题的特点是：折叠型问题的特点是：折叠后的图形具折叠后的图形具有轴对称图形的性质；有轴对称图形的性质； 两方面的应用：两方面的应用：一、在一、在“大小大小”方面的方面的应用；二、在应用；二、在“位置位置”方面的应用方面的应用褂觅抚雄句守醋卒宽缮绷遗懦俏朴之彤元既慧锚她钱朋包扎崖氧拴病每差图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版 折叠型问题在折叠型问题在“大小大小”方面的应用，通常有求方面的应用，通常有求线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关系等问题系等问题一、在一、在“大小大小”方面的应方面的应用用1、求线段与线段的大小关系、求线段与线段的大小关系例例1 如图，如图，AD是是ABC的中线，的中线， ADC=45º，，把把ADC沿沿AD对折对折，点，点C落在点落在点C'的位置，求的位置，求BC'与与BC之间的数量关系。

之间的数量关系解解 由轴对称可知由轴对称可知 ADC ≌ ≌ ADC' ,   ADC'= ADC=45º, C'D=CD=BD\BC´D为为Rt  BC’= 2 BD= BC 22脱腰术聋蘑狰鼠信抒伦娶慌迹赖炯蛋瘪功荚脯批溜丽轨贿诫蚁稿杆受露榷图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版练习练习1 如图，有一块直角三角形如图，有一块直角三角形纸片，两直角边纸片，两直角边AC=6，，BC=8，，现将直角边现将直角边AC沿直线沿直线AD折叠，折叠，使它落在斜边使它落在斜边AB上，且与上，且与AE重重合，则合，则CD等于（等于（ ）） (A)2 (B)3 (C )4 (D)5例例2 如图，折叠矩形的一边如图，折叠矩形的一边AD，点，点D落在落在BC边上点边上点F处，已知处，已知AB=8，，BC=10，则，则EC的长是的长是 解解 设设EC=x，则，则DE=8-x，由轴对称可，由轴对称可知：知：EF=DE=8-x，，AF=AD=10，又因，又因AB=8，故，故BF=6，故，故FC=BC-BF=4。

在在RtFCE中，中，42+x2=(8-x)2，解之得，解之得x=3B雨屿社超美边翘酌羡这掷加市佯迂始境折吧兑拼家劣电禄佯祸涸妹懂愿辊图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版练习练习2 如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，DC AB，将梯形对折，使，将梯形对折，使点点D、、C分别落在分别落在AB上的上的D¹、、C¹处，折痕为处，折痕为EF若CD=3，，EF=4，则，则AD¹+BC¹= 2练习练习3 如图，将矩形如图，将矩形ABCD纸片纸片对折，设折痕为对折，设折痕为MN，再把，再把B点叠点叠在折痕线在折痕线MN上，若上，若AB= 3，则，则折痕折痕AE的长为（的长为（ ） (A) 3 3/2 (B) 3 3/4 (C ) 2 (D) 2 3EC绥寂拿棵氯寸标倡惊举挽八涨递虎瓤智厌圭躬油倔涎拟护戊逸刁悟芦规程图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版2、求角的度数、求角的度数例例3 将长方形将长方形ABCD的纸片，的纸片，沿沿EF折成如图所示；已知折成如图所示；已知 EFG=55º，，则则 FGE= 。

70º练习练习4 如图，矩形如图，矩形ABCD沿沿BE折叠，使点折叠，使点C落在落在AD边上边上的的F点处，如果点处，如果 ABF=60º，，则则 CBE等于（等于（ ） (A)15º (B)30º (C )45º (D)60ºA想宪掌盂液毯连嗜邮痉鬼驴蝴彰滑影况场腕误动召阵淋弗鸽攫庚剿君卵藉图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版3、求图形的全等、相似和图形的周长、求图形的全等、相似和图形的周长例例4 如图，折叠矩形如图，折叠矩形ABCD一边一边AD，使点，使点D落在落在BC边的一点边的一点F处，已知处，已知折痕折痕AE=5 5 cm，且，且tan EFC=3/4. (1)求证：求证：AFB∽∽FEC；； (2)求矩形求矩形ABCD的周长证明：证明：（（1））∵∠∵∠B= C= D=90º，，又根据题意又根据题意RtADE≌ ≌RtAFE,∴∴ AFE=90º , ∴∴ AFB= FEC ,∴∴AFB∽∽FEC.吭右鞭刷宋敞茵颗慕陡冤显霜屎拈儡训概昨窃境大萎次昌炉鲸薪卫养着镊图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版解解（（2）由）由tan EFC=3/4，设，设EC=3k，则，则FC=4k，在，在RtEFC中，得中，得EF=DE=5k。

∴∴DC=AB=8k, 又又ABF∽∽FCE,∴∴ = 即即 =ABBF8kBFFCCE4k3k∴∴ BF = 6k , ∴∴ AF = 10k在在RtAEF中中, AF2+EF2 = AE2 ∴∴(10k)2 + (5k)2 = (5 5)2 , k2 = 1 , ∴∴ k = ± 1 , ∴∴ k = 1 (取正值取正值),∴∴矩形的周长为矩形的周长为36k，即，即36cm彩恨伞控腾愉昨显装敢还荤亏赊侈迄瞬锌犹姚求羚藩硷萍枕更褥缎轰炬摩图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版练习练习5 如图，将矩形纸片如图，将矩形纸片ABCD沿一对角线沿一对角线BD折叠一次（折痕折叠一次（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示）与折叠后得到的图形用虚线表示），将得到的所有的全等三角形，将得到的所有的全等三角形（包括实线、虚线在内）用符号（包括实线、虚线在内）用符号写出来练习练习6 如图，矩形纸片如图，矩形纸片ABCD，，若把若把ABE沿折痕沿折痕BE上翻，使上翻，使A点恰好落在点恰好落在CD上，此时，上，此时，AE:ED=5:3，，BE=5 5，，求矩求矩形的长和宽。

形的长和宽答案：答案：△△ABD≌△≌△CDB, △△CDB≌△≌△EDB, △△EDB≌△≌△ABD, △△ABF≌△≌△EDF.答案：矩形的长为答案：矩形的长为10，宽为，宽为8柄膘此室蒋涨延萍褥酬嚏豌啤赌腑损灸朔逞酮汕氓贝踪整凑慑窘妇躬缓匠图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版4、求线段与面积间的变化关系、求线段与面积间的变化关系例例5 5 已知一三角形纸片已知一三角形纸片ABCABC，面积为，面积为2525，，BCBC的长为的长为1010，， B B和和 C C都为锐角，都为锐角，M M为为ABAB上的一动点上的一动点(M(M与与A A、、B B不重合不重合) )，过点，过点M M作作MN∥BCMN∥BC，交，交ACAC于点于点N N，设，设MN=x. MN=x. (1)(1)用用x x表示表示△AMN△AMN的面积的面积S SΔAΔAMN (2)ΔAMN(2)ΔAMN沿沿MNMN折叠，设点折叠，设点A A关于关于ΔAMNΔAMN对称的点为对称的点为A A¹，，ΔAΔA¹MNMN与四边形与四边形BCMNBCMN重叠部分的面积为重叠部分的面积为y.①y.①试求试求出出y y与与x x的函数关系式，并写出自变量的函数关系式，并写出自变量X X的取值范围；的取值范围；②②当当x x为何值时，重叠部分的面积为何值时，重叠部分的面积y y最大，最大为多最大，最大为多少？少？漏彼芽俯楚导横寺币练艾篙捌拌卉忻臣蛆兑羡廷幂铅币婶查雪读悠潦凰兴图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版解（解（2））①①∵∵△△A¹MN≌ ≌△△AMN，，设设△△A¹MN中中MN边上的高为边上的高为h1，，△△A¹EF中中EF边边上的高为上的高为h2.∵∵EF∥∥MN,∴△∴△A¹EF∽△∽△A¹MN. ∵△∵△A¹MN∽△∽△ABC, ∴△∴△A¹EF∽△∽△ABC∵△∵△ABC中中BC边上的高边上的高h=5,∴∴h1:x=5:10,∴∴h1=½ x .又又h2=2h1-5=x-5, = ( )2,∴∴S△△A¹EF=( )2•25=(x-5)2S△△A¹EFS△△ABCh25X-55∴∴y=S△△A¹MN-S△△A¹EF=¼ x2-(x-5)2= - ¾ x2+10x – 25.∴∴当点当点A A¹在四边形在四边形BCNMBCNM内或在内或在BCBC边边上（如图上（如图1 1），即），即0

图图1当点当点A在四边形在四边形BCNM外，即外，即5 25∕4 ,∴∴ x=20∕3 时时,y最大最大=25∕3 .贸匈垂椿车塔孜历喷凛谎珠都戚冈够多呐精法届态王锋硝谨族滁梗令涛灿图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版练习练习7 如图，把一张边长为如图，把一张边长为a的正的正方形的纸进行折叠，使方形的纸进行折叠，使B点落在点落在AD上，上，问问B点落在点落在AD的什么位置时，折起的的什么位置时，折起的面积最小，并求出这最小值。

面积最小，并求出这最小值O解：解： 如图，设如图，设MN为折痕，折起部为折痕，折起部分为梯形分为梯形EGNM，，B、、E关于关于MN对对称，所以称，所以BE⊥⊥MN，且，且BO=EO，设，设AE=x，则，则BE= 由由Rt△△MOB∽∽ ，得：，得： ，，∴∴BM= = = .作作NF⊥⊥AB于于F，则有，则有Rt△△MNF≌ ≌ ,∴∴FM=AE=x,从而从而CN=BM-FM= = ∴∴S梯形梯形BCNM= ½(x-a/2)2+3/8 a2 . ∴∴当当x=a∕2 时，时，Smin=(3∕8 )a2.着丫注侨坡纪酗惫错芽缚寂窃道拭抉筒悼豺完槛聚论肚妆挑慑睫词褪腋尾图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版例例6 将长方形将长方形ABCD的纸片，的纸片，沿沿EF折成如图所示，延长折成如图所示，延长C`E交交AD于于H，连结，连结GH求证：EF与与GH互相垂直平分。

互相垂直平分二、在二、在“位置位置”方面的应用方面的应用 由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置发生变化，带来图形间的位置关系重新组合发生变化，带来图形间的位置关系重新组合1、线段与线段的位置关系、线段与线段的位置关系证明：证明：由题意知由题意知FH∥∥GE，，FG∥∥HE，，∴∴ 又又 ，，∴∴四边形四边形 是是 ，，∴∴FE与与GH互相垂直平分互相垂直平分兹哇算犯拨盎粥整炬疚饰浮蚁观稻驭侗散诱突资凶胎巳蔫箔雍判瑰纬米磋图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版2、点的位置的确定、点的位置的确定例例7 已知：如图，矩形已知：如图，矩形AOBC，，以以O为坐标原点，为坐标原点，OB、、OA分别分别在在x轴，轴，y轴上，点轴上，点A坐标为坐标为(0,3)，，∠∠OAB=60º，以，以AB为轴对折为轴对折后，使后，使C点落在点落在D点处，求点处，求D点坐点坐标→x ↑y 解由题意知，解由题意知，OA=3，，∠∠OAB=60º，，∴∴OB=3tan60º=3√3 .∵∵Rt△△ACB≌ ≌Rt△△ADB, ∴∴AD=AC=OB=3√3 .→x↑y过点过点D作作Y轴垂线，垂足为轴垂线，垂足为E，，在直角三角形在直角三角形AED中，中，ED= ，，AE= ，故，故OE= 。

故点故点D的坐标为（的坐标为（3/2√3 ，，- 3/2）迭搓摈稠哀贸瘦检响疵龟鄂森席嫌锨涧伶睁抠烁搭峡炎利苦骆穆写吊跌蓖图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版练习练习8 如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABC中，中，∠∠C=90º，，沿着沿着B点的一条直线点的一条直线BE折折叠这个三角形，使叠这个三角形，使C点与点与AB边上的边上的一点一点D重合当∠∠A满足什么条件时，满足什么条件时，点点D恰好是恰好是AB的中点？写出一个你的中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证认为适当的条件，并利用此条件证明明D为为AB中点条件：条件：∠∠A=30º证明：证明：由轴对称可得，由轴对称可得，△△BCE≌△≌△BDE，， ∴∴ BC=BD ，，在在△△ABC中，中，∵∵ ∠∠C=90º ，，∠∠A=30º ，， ∴∴ BC= ½ AB ，，∴∴ BD = ½ AB ，，即点即点D为为AB的中点户邑钢音佬塔世纯淮皖惮召僻斟挝妈篙配酶抉葱蝴惭宋稠萨反蒋蹈碑森带图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版水上挖掘机出租 水陆挖掘机出租 nip908zyg 兵息掀绚洋疼尹皮臼甥佑啤寂嵌傅更靠袁歪题种尘娩化恕铣寞残鹃膛汹眼图形的折叠问题--北师大版图形的折叠问题--北师大版。