数学物理方程与特殊函数模拟试题及参考答案教学内容说课讲解.pdf

读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 成都理工大学 数学物理方程模拟试题 一、填空题（ 3 分 10=30 分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（） ，说明边界上的约束 情况的条件叫（） ，二者统称为（）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是： （） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为（） . 4.边界条件fu n u S )(是第（）类边界条件，其中S为边 界. 5.设函数),(txu的傅立叶变换式为),(tU，则方程 2 2 2 2 2 x u a t u 的傅立叶 变换为 （） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有)( 0 xJ dx d （） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)( 3 1 )( 3 2 02 xPxP= （）. 8.计算积分dxxP 2 1 1 2 )(（） . 9.勒让德多项式)( 1 xP的微分表达式为（） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30 分） ： 1. 30,0,3 ,0 0 0, 30,2 0 0 3 2 2 2 2 2 , 0 x t u x x tx x u t u t t x u uu 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 2. x tx x u t u u uu t xx 2 , 0, 0 0, 40, 0 40 2 2 3. 20, 0 , 8, 0 0,20,162 0 0 20 2 2 2 2 2 x t u tx x u t u t t xx u uu 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10 分） 0,2sin 0,,cos 00 2 2 2 2 2 tt t u xu txx x u a t u 四、用积分变换法求解下列定解问题（10 分） ： , 1 , 1 0, 0, 1 0 0 2 y x u yu yx yx u 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10 分） ： )( 1 )()( 0 02 xJ x xJxJ 六 、 在 半 径 为1 的 球 内 求 调 和 函 数u， 使 它 在 球 面 上满 足 2 1 cos r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10 分）: 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 .0, 12cos3 ,0, 10,0)(sin sin 1 )( 1 1 2 2 2 r u r u rr u r rr (本题的u只与, r有关，与无关) 数学物理方程模拟试题参考答案 一、 填空题： 1.初始条件，边值条件，定解条件. 2.)( 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x u a t u 3.0 1 )( 1 2 2 2 uu . 4. 三. 5.Ua dt Ud 22 2 2 . 6.)( 1 xJ. 7. 2 x. 8. 5 2 . 9.)1( 2 1 2 x dx d . 10. 2 0 2 0 )()( 1 ln yyxx u. 二、试用分离变量法求以下定解问题 1.解 令)()(),(tTxXtxu，代入原方程中得到两个常微分方程： 0)()( 2 tTatT，0)()( xXxX，由边界条件得到0)3()0(XX， 对的 情 况讨论 ， 只 有当 0时才 有 非 零解， 令 2 ，得 到 2 22 2 3 n 为特征值，特征函数 3 sin)( n BxX nn，再解 )(tT，得到 3 2 sin 3 2 cos)( ;; tn D tn CtT nnn，于是 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 , 3 sin) 3 2 sin 3 2 cos(),( 1 xntn D tn Ctxu nn n 再 由 初 始 条 件 得 到 0,) 1( 18 3 sin3 3 2 1 3 0 n n n D n xdx n xC， 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为 , 3 sin) 3 2 cos) 1( 18 (),( 1 1 xntn n txu n n 2. 解 令)()(),(tTxXtxu，代入原方程中得到两个常微分方程： 0)()( tTtT，0)()( xXxX，由边界条件得到0)4()0(XX，对 的情况讨论，只有当0时才有非零解，令 2 ， 得到 2 22 2 4 n 为特征值，特征函数 4 sin)( n BxX nn，再解 )(tT，得到 16 ; 22 )( tn nn eCtT， 于是, 4 sin(),( 16 1 22 xn eCtxu tn n n 再由初始条件得到 1 4 0 ) 1( 16 4 sin2 4 2n n n xdx n xC， 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为 , 4 sin) 1( 16 ),( 16 1 1 22 xn e n txu tn n n 3.解 由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(xwtxvtxu，代入 原 方 程 中 ， 将 方 程 与 边 界 条 件 同 时 齐 次 化 。

因 此 21 2 2 2 2 2 2)(16)(416)(4cxcxxwxwxw x v t v ，再由边界条 件有8)2(,0)0(ww，于是0, 8 21 cc，xxxw82)( 2 .再求定解问题 20,0),( ,0 0 0,20,2 0 0 3 2 2 2 2 2 , 0 x t v xw x tx x v t v t t x v vv 用分离变量法求以上定解问 题的解为, 2 sincos)1) 1( 32 )1( 16 (),( 33 1 xn tn n n txv nn n 故 , 2 sincos)1)1( 32 ) 1( 16 (28),( 33 1 2xn tn nn xxtxu nn n 三. 解： 令)(),(),(xwtxvtxu， 代 入 原 方 程 中 ， 将 方 程 齐 次 化 ， 因 此 x a xwxxwaxxw x v a t v c o s 1 )(0c o s)(c o s)( 2 2 2 2 2 2 2 ， 再求定解 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 问题 ,0),(cos 1 2sin 0, 0 2 0 2 2 2 2 2 t t t v xxw a x t x v a t v v 由达朗贝尔公式得 到以上问题的解为 atx a atx atx a atxata a atxtxv coscos 1 cossin 0)cos( 1 )(2sin)cos( 1 )(2sin 2 1 ),( 2 22 故 .cos 1 coscos 1 cossin),( 22 x a atx a atxtxu 四. 解 ： 对 y 取拉普拉斯变换),(),(pxUyxuL，对方程和边界条件同时对y 取拉普拉斯变换得到 pp U pdx dU p x 11 , 1 20 ，解这个微分方程得到 pp x p pxU 111 ),( 22 ，再取拉普拉斯逆变换有1),(yyxyxu 所以原问题的解为1),(yyxyxu. 五. 证明： 由公式)())(( 1 xJxxJx dx d n n n n 有)()()( 1 xJxxnJxxJ nn n，令1n 有)()()( 21 1 xxJxJxxJ，所以)( 1 )()( 1 1 2 xJ x xJxJ，又 )()(),()( 1 0 1 0 xJxJxJxJ，所以)( 1 )()(0 0 2 xJ x xJxJ. 六解： 由分离变量法，令)()(),(rRru， 得到 0 )(cos),( n n n n PrCru ， 由 边 界 条 件 有 0 1 )(cos12cos3 n nnr PCu， 令xc o s， )()()(261)12(3 221100 22 xPcxPcxPcxx， ) 13( 2 1 26 2 210 2 xcxccx， 4, 0,0 210 ccc，故 22222 2cos6)1cos3( 2 1 4),(rrrru 。