收敛些吧定积分!.docx

对于积分我们，一谈收敛一般是指的定积分的收敛，因为不定积分积出来的 是一个函数，定积分积出来的是一个数不定积分与定积分的区别请去相应的板 块寻找总之我们谈收敛是指定积分，哪怕是负无穷到正无穷的积分，那也是定 积分积分分为很多情况，有好多的限定公式，其实哪些只是用来描述曲线的一些 术语而已，是数学家自己的语言但是表示的内容却非常的明显无非分为一下几 种情况，第一在 x 轴上延申有限，在 y 轴上延申也有限，即在图像上表现为一条 有限长度的曲线段，这种的积分一定是收敛的，因为面积一定是有限的第二种是在x轴上无限延伸，在y轴上也无限延伸，在图形上的表现为一个 无穷而且自由的曲线，向着一个方向不断地延伸，这种积分一定是无法收敛的， 因为它的面积是无限的第三种情况是x轴方向无限伸展但是y轴方向上却向着y=0无限接近着，表 现在图像上是一条末端无限接近于x轴的曲线，这种积分就有可能收敛，具体收 不收敛还要作一番比较才可以定夺，因为有的曲线虽然看起来好像无限接近于 x 轴但是它的积分曲线（表达在某一点可以积分多少面积的曲线，就是所谓的原函 数，属于不定积分却是没有界的，这也就表明它尽管到了后期积分的能力无 限接近于零但是仍然没有限制，即接近零的速度太慢没有x轴变化的快，表现在 图像上就是虽然y轴了一些但是因为下降的太慢导致下降一个单位x轴方向出去 好几个单位，而且越到后期越慢，这导致面积仍然在缓慢增加没有极限，函数发 散。

当然这种情况是有一个界限的，那就是-x的次方只要高于1那么它趋向 于无穷的时候y轴方向的下降速度就足以抑制x轴的自增加速度，而且越到后期 抑制越强烈，逐渐的趋向于零，即x轴动很多个单位y轴也不会下降一个单位即 后期随着Ax的变化Ay趋向于0 ,所以面积厶x*Ay也趋向于0所以当x的次方数高于1的时候面积后期趋向于0 ,即后期面积不增加，所以被积分 函数的面积函数（原函数）一定有极限所以这种情况下积分收敛与此相反当 x的次方数小于1的时候因为后期随着Ax变化Ay的变化仍然很明显第四种是趋向于一个数的时候y轴趋向于无穷的情况，这种情况与上一种情 况类似，因为只要把图像旋转一下就会变回上面这种情况，所以它根据Ay的变 化情况也会有收敛和不收敛两种情况存在这个时候如果不旋转图像那么我们只 要考虑当x无限接近于瑕点a （在这里就是趋向于a的时候y趋向于无穷）的时 候Ax*Ay是否趋向于0 ,如果是那么就积分收敛，否则积分发散这个时候需要 交换自变量从而转换为与第三种情况相同的情况，如果 x 的次数大于 0 小于 1 那么那么随着Ay的增加Ax的逐渐变缓即AX*®趋向于0，此时积分收敛否则 积分发散。

好的现在我们明白了它的基本原理，但是数学家们为了使表达更清晰更精简， 便发明了一些符号，总结了一些公式，既方便自己人交流，也方便外行的使用 现在我们来一一解析一下这些公式参考书籍高等代数上册， 无穷限反常积分的审敛法 定理一在这条定理中假设了一个向 x 轴正方向，无穷延伸的定积分这个定积分的原函 数有界，也就是说随着x的变化原函数的导数趋向于零而且导数与x的积永远不 会大于某个值而导数就是这里的定积分的不定积分形式，所以可以转化为△ x*Ay也就是定积分的值趋向于一个常数，因此收敛详细介绍请参阅定积分与 不定积分关系解析，不定积分的导数其实是定积分在任意点积分快慢的描述的点 的集合，每个点的附近的导数代表这一点附近积分的快慢，但是原函数的高度对 积分来说并没有太大的意义，所以用不定积分求定积分的时候用的是差值）定理二 定理2（■比较审敛原理 设曲数f v X）在区间［£^ + x ）上连续.如杲I “y I W讥工）（a ' * < + *丨*并且| 0 1 ）牡收敛"那么 /（X）dr也收般；如a ■ ®和心）寸门（Bn嘗八并且J.小皿发散.那么〔“弘川也踰在这个定理中数学家们假设了这样一种情况的存在。

有两条曲线，一条低的 曲线的任意一点都小于另一条高的曲线，而且还大于零那么结论就是如果高的 那个函数可以快速贴近X轴（收敛）那么低的那一条也可以快速贴近X轴（收敛） 没错这个看起来略微复杂的公式就是表达了这个显而易见的结论，而且在原函数 层面也可以进行理解我们已经知道原函数有界定积分收敛，那么此时高的曲线 的原函数是高的，低的曲线的原函数是低的（因为曲线的相对高低与定积分所围 成的面积成正相关，如果通过平移实现x=0的时候原函数的值为0的话，原函 数的值就是0到x的定积分）试想高处的曲线已经封顶了（有界），那么比它低 的曲线也一定有界（高不过高曲线封的顶），而且不会出现波动使其无法收敛的 情况，因为积分函数已经规定大于零了，也就是原函数的导数不变号，即原函数 单调单调有界必有极限，有极限就收敛所以原函数收敛，原函数又与被积函数的积分成线性正相关（就多了个常数，因为原函数的曲线可以在 y 轴上任意平 移，这是由于原函数的两个值的差值才等于定积分，所以对于定积分一般情况下 只有差值才具有研究意义）所以被积函数的积分也收敛，即定积分收敛定积 分的本质是一个极限，准确地说的是积的和的极限）总之就是一张图，一条线 在上，一条线在下，两条线不会改变前进方向，在上面的一条线限制了在下面的 一条线，，上面的一条线有高度限制，下面的一条线便也有了高度限制。

定理四：订出较审敘注1为歴硒•定理4｛扱限审敛法I〕 . — _ _ ，- ■"*存在常数尸1*使得丄匹工丁（兀设函数/（#）在区间—2 ）上连续‘助时泄轉 ）=c< + ^ ,那么*反常积分 f（xhh收散期冲gJim xf{ x) = e/>0 ( =£ lim xf( ^) = + ),那么反常积分 | / ( -f ) dx 发散.^• + ■5 J!—- f W J 门这个定理中数学家假设了一个曲线f （ X ）乘以x的p次方的时候是是常数, 这是说明什么呢？其实这只是表明f（ X）中包含的最高项X的p次方之一，只有 这样当 x 趋向于正无穷的时候才有可能出现常数，也就是以前常说的等价无穷小把正无穷稍微一转化就是等价无穷小了，其次这里牵涉到积分变积分变量要换 积分上下限的问题，根本原因还是定积分是一个极限，当然从图像上也能解释） 现在事情已经很明了了，这条定理就是定理三的变形，其中定理三中我们说到当 一个原函数的曲线在另一条可收敛的原函数曲线下方的时候这个原函数也收敛， 反之当一个原函数的曲线在另一条发散原函数的上方的时候这个原函数也发散通过极限的证明（ 1/X 的 p 次方当 p 趋向于 1 时， X 趋向于无穷的时候的极限）1/X为一条分界线它的原函数为lnx，如果原函数的曲线在Inx之上那么此积分发 散，否则次积分收敛，其次当与Inx重合的时候此积分发散。

表现在被积函数上 就是当 X 趋向于正无穷的时候比 1/X 接近 X 轴快的就可以收敛，否则发散例如 1/x的平方就是发散的，1/错误!也是发散的，而1/xA2是收敛的所以说原文中p 才会区分大于一和大于零小于等于一大于一说明原式中的最高次项是一个 x 的大于一的次方项，当这个项趋向于正无穷的时候比1/x“更猛烈”的趋向x轴一 些，它的原函数也是在Inx之下的（当然是指x趋向正无穷的时候）定理五：这个定理就与上两个定理不是相同的了，在这条定理中，数学家假 设了一个当x趋向于正无穷的时候绝对值收敛的这样的一个定积分，那 么它的原函数一定有界而且单调，这样就算去掉绝对值会导致原函数发 生部分反转，也绝对不会影响到原函数的有界性，因为从图像上可以直 观的感受到一个有界的函数是不可能通过沿x轴的翻转变为无界的定理六：）设函数yu）在区间（sH上连续，且f"）池口 骨数忖丸及仔！.使得在这条定理中，他们就是假设了 一种当x趋向于某个常数的时候y趋向 于无穷的图像(瑕点，又称为无界间断点，指在f(x)在常数c的邻域 内无界)这时候我们又要找一些参照物了，恰好1/x在x趋向于0+的时候刚好是一个临界值，当然1/x对x积分本身就是发散的。

因此在瑕点c附近如果升高的慢于1/X那么就收敛，如果快于1/X就发散，显然 当X的p次方的p大于1的时候快于1/X因此如果X的p次方的p大 于1的时候原函数无界，定积分发散而X-a的目的是为了将X=0这一 条限制去掉1/x当x趋向于0的时候就可以写成1/（ X-0 ）这里的0就 是常数c（也就是原文中的a）定理七锂7（极限审敛法2）设函数心在区的瑕点.如果存在常数0<9<1,使得 …上速顒尼lim （x -a）x）H T胡*r（兀）上收敛；如果这个定理与定理六本质上是相同的，因为这里的(x-a )本质上就是看看里面有没有1/ ( x-a ), 如果有则极限为常数，如果有比1/( x-a )次数还高的项那么就 会趋向于正无穷，所以由上面定理六的分析我们可以得出有这个 定积分是发散的，反之收敛当然做到这里我们有了一个意外收获，那就是如何通过定积分的收 敛性得到原函数的一些特征信息，当然同城情况下如果能求出原函数更 好。