压电铁电物理-王春雷yd1.ppt

wangcl@,1,机电耦合系数 electro-mechanical coupling factor,一般情况下的压电方程组 机电耦合因子,wangcl@,2,一般情况下的压电方程组,在上节中以z切割的钛酸钡晶片为例，分别讨论了压电方程组以及各常数之间的关系下面将进一步给出一般情况下的压电方程组以及各常数之间的关系虽然一般情况下的压电方程组比较复杂，但是处理方法以及各常数之间的关系，基本上与节中一致所以这里只给出结果，不作详细地重复讨论wangcl@,3,第一类压电方程组（Xj，En）,,,wangcl@,4,第二类压电方程组（xi，En）,,,,,wangcl@,5,第三类压电方程组（Xj，Dm）,,,,,wangcl@,6,第四类压电方程组（xi，Dm）,,,,,wangcl@,7,,（1）表中i、j=1、2、3、4、5、6，m、n=1、2、3； （2）表中dt矩阵是d矩阵的转置矩阵，et、gt和ht是e、g和h的转置矩阵 （3）表中短路弹性柔顺常数sEij=(xi/Xj)E为短路时由于应力分量Xj变化引起应变分量xi的变化与应力分量Xj的变化之比wangcl@,8,,压电常数dni=(xi/En)X =(Dn/Xi)E为机械自由时由于电场分量En变化引起应变分量xi的变化与电场分量En的变化之比；或者短路时，由于应力分量Xi变化引起电位移分量Dn的变化与应力分量Xi的变化之比。

介电常数Xmn=(Dm/En)X为机械自由时，由于电场分量En变化引起电位移分量Dn的变化与电场分量En的变化之比其它常数与此类似wangcl@,9,压电方程组中各常数之间的关系,,介电常数与压电常数之间的关系,,wangcl@,10,压电方程组中各常数之间的关系,弹性常数与压电常数之间的关系,wangcl@,11,各类压电常数之间的关系,,,,,,,wangcl@,12,举例说明: 第一类压电方程组分量表达式,,wangcl@,13,,可见压电方程组共包括九个方程式， 前六个称为弹性方程， 后三个称为介电方程 每个方程又包括九项，前六项与应力有关，后三项与电场强度有关wangcl@,14,第一类压电方程组的矩阵形式为：,,,弹性方程部分,wangcl@,15,第一类压电方程组的矩阵形式为：,,介电方程部分,wangcl@,16,,可见dt矩阵为六行三列，d矩阵三行六列dt是d的转置矩阵（或称易位矩阵）d矩阵的行与列互换就成为dt矩阵其余三类压电方程组的情况与（4-27）、（4-28）和（4-29）式类似，这里不再一一列出在压电晶体中，除去属于三斜晶系的压电晶体外，其它晶系的对称性较高，独立的弹性常数、介电常数和压电常数随着对称性程度增高而相应减少，压电方程组也相对应简化。

wangcl@,17,几种典型晶体的压电方程组,实用化晶体： 石英:属32点群 钛酸钡:属4mm点群 铌酸锂和钽酸锂:属3m点群 压电陶瓷:可用m表示，与6mm点群相同,wangcl@,18,钛酸钡晶体的第一类方程组,,,wangcl@,19,分量形式为,,wangcl@,20,铌酸锂和钽酸锂的第一类方程组,,,wangcl@,21,分量形式为,,wangcl@,22,压电陶瓷的第一类方程组,,,wangcl@,23,写成为分量为,,wangcl@,24,几点注意,在这里，这四类压电方程组是作为根据实验结果而得到的，但是从热力学理论也可以严格地导出这四类压电方程组 在本章中讨论这四类压电方程组时，并没有考虑压电晶体与工作环境（例如空气）交换热量问题因为压电体工作时机械能与电能之间转换过程是很快的，所以可以近似认为转换过程中与工作环境无热量交换就是说压电方程组是在绝热过程中建立的wangcl@,25,,关于单位问题 压电方程组中各物理量的单位，在实际应用中，常用MKS单位制，因此这里中也采用MKS单位制参考资料中也有采用CGS单位制的为了便于换算，在表4-6中给出了MKS单位制与CGS单位制之间的换算因子。

wangcl@,26,,压电方程组是分析讨论压电元件性能的根据，在大多数情况下，是从第一类压电方程组出发，其次是第三类方程组至于第二类和第四类压电方程组，往往只在某一个方向的应变分量远大于其它应变分量的情况下，才被选用（例如，在细长杆压电元件以及利用厚度振动模的压电元件中，有时就选用第二类和第四类压电方程组）wangcl@,27,机电耦合系数,前面已经引入了介电常数、弹性常数和压电常数来描写材料的压电性质，但是在实际应用上，还使用另一个衡量元件压电性质好坏的重要物理量—机电耦合系数（也称压电耦合因子）例如，压电滤波器的频率宽度、压电变压器的升压比等等都直接与机电耦合系数有关Electro-mechanical coupling factor,wangcl@,28,,所谓“机电耦合系数”就是指压电材料中与压电效应相联系的相互作用强度（也称压电能密度）与弹性能密度和介电能密度的几何平均值之比用数学式表示为:,,（4-37）,机电耦合系数,wangcl@,29,,式中k代表机电耦合系数， UI为相互作用能密度，UM为弹性能密度， UE为介电能密度， 为弹性能密度和介电能密度的几何平均值wangcl@,30,,因为压电常数、弹性常数、介电常数和机电耦合系数都是描写材料压电性能的物理量，因此机电耦合系数与这些常数之间存在一定的关系。

这个关系可通过压电材料的内能以及机电耦合系数的定义（4-37）式而导出wangcl@,31,,压电晶体的内能与应力、应变、电位移和电场强度之间的一般关系为:,式中U为压电晶体的内能4-38）,wangcl@,32,,如果要得到某个压电晶体的内能表达式，将该晶体的压电方程组代入到内能表达式（4-38）后，即可得到体系的内能U实际上常用的压电元件都是采用沿晶体的某个方向切下的晶片，例如薄长条片、薄圆片或细长杆等都具有较简单的形状，这样的压电元件的内能表示式也比较简单wangcl@,33,,求出内能表示式后，再代入到机电耦合系数表达式（4-37），即得到相应的机电耦合系数k 举例如下： 薄长条片的机电耦合系数; 细长杆的机电耦合系数; 平面机电耦合系数; 厚度切变机电耦合系数;,wangcl@,34,薄长条片的机电耦合系数,设为z切割晶片，如图4-17所示，若晶片受到沿x方向的应力X1与沿z 方向的电场强度E3 的作用，其它X2、X3、X4、X5、X6、E1、E2皆等于零，在此情况下，晶片的内能表示式为：,,wangcl@,35,图4-17 薄长条片压电晶片示意图,wangcl@,36,,选X、E为自变量，则晶体的第一类压电方程组为，,,,wangcl@,37,式中：sE11X12/2为晶片的弹性能密度UM；X33E32/2为晶片的介电能密度UE；d31E3X1/2为与压电效应有关的相互作用能密度UI。

将上式代入（4-39）式得到晶片的内能表示式为：,wangcl@,38,将这些结果代入到（4-37）式即得晶片的机电耦合系数k为：,,,即：,与元件的形状有关！,wangcl@,39,,式中机电耦合系数k31的前一个下标代表电场的方向是沿z 轴方向，后一个下足标代表晶片是x方向的伸缩振动从（4-40）式可以看出长条晶片的机电耦合系数k31与压电常数d31成正比；与短路弹性柔顺常数sE11和自由介电常数X33的乘积的平方根成反比 wangcl@,40,k31的数值举例,钛酸钡晶片： d31=-34.510-12 库仑/牛顿 sE11 =8.0510-12 米2/牛顿 X33 =1688.8510-12 法拉/米 故有：k31=0.317,wangcl@,41,k31的数值举例,PZT-4压电陶瓷 d31 =-12310-12 库仑/牛顿 sE11 =12.310-12 米2/牛顿 X33 =13008.8510-12 法拉/米 故有：k31=0.327,wangcl@,42,,钛酸钡陶瓷 d31 =-7810-12 库仑/牛顿 sE11 =9.110-12 米2/牛顿 X33 =17008.8510-12 法拉/米 故有：k31=0.212 计算时已将d31中的负号省去,wangcl@,43,细长杆的机电耦合系数,设细长杆的长度方向与z轴平行，电极面与z轴垂直。

若杆只受到沿z轴方向的应力X3以及电场E3的作用，在此情况下，杆的内能表示式为：,,wangcl@,44,图4-18 细长杆压电振子示意图,选T、E为自变量，杆的第一类压电方程组为,wangcl@,45,,代入到（4-41）式得到杆的内能为：,,,故得：,wangcl@,46,,可见电场与形变都沿z方向的细长杆的机电耦合系数与d33成正比，与sE33X33的根方成反比再代入到（4-37）式，即得细长杆的机电耦合系数为，,wangcl@,47,k33的数值举例,钛酸钡晶片： d33=86.510-12 库仑/牛顿 sE33 =15.710-12 米2/牛顿 X33 =1688.8510-12 法拉/米 故得：k33=0.565,wangcl@,48,,PZT-4压电陶瓷 d33=28910-12 库仑/牛顿 sE 33=15.510-12 米2/牛顿 X33 =13008.8510-12 法拉/米 故得：k33=0.70,wangcl@,49,,钛酸钡陶瓷 d33=19010-12 库仑/牛顿 sE33 =9.5110-12 米2/牛顿 X33 =17008.8510-12 法拉/米 故得：k33=0.50,wangcl@,50,平面机电耦合系数,设所研究的晶片为z 切割的薄圆片，并有sE11=sE22，d31=d32，电极面与z轴垂直，晶片只受到应力X1与X2以及电场E3的作用。

在此情况下，选X、E为自变量，则第一类压电方程组为：,,wangcl@,51,图4-19 薄圆片压电振子示意图,wangcl@,52,,考虑到薄圆片存在sE11=sE22，d31=d32等对称性，因而有X1=X2=Xp，并引入平面应变xp=x1+x2，平面压电常数dp=2d31，平面弹性柔顺常数sEp=2（sE11+sE22），利用这些关系，压电方程组可简化为：,wangcl@,53,,即：,X1=X2=Xp，xp=x1+x2，dp=2d31，sEp=2（sE11+sE22）,wangcl@,54,,又薄片的内能表示式为：,,即：,wangcl@,55,,将（4-43）式代入（4-44）式可得,,式中：,wangcl@,56,。