压电材料的变分原理与有限元方法.ppt

压电材料的变分原理 和有限元分析方法,赵寿根 航空科学与工程学院固体力学研究所,1 前言,压电材料由于其机电耦合特性，受到使用者的欢迎当将压电材料应用到结构中时，由于结构形式的多样性、边界条件的多样性和外界激励环境的复杂性，解析解会遇到不可克服的困难，因而大多数情况需要采用数值的方法来分析结构和解决问题 变分原理是进行数值计算的基础，因而研究压电材料的变分原理为建立压电材料的有限元模型和方程提供了依据2 基本方程,压电材料具有力电耦合特性，根据连续弹性介质理论和电介质理论，基于线弹性、小变形假设，基本方程及条件如下 (1) 运动方程,,(2) 电学方程,,若不存在自由电荷则等式子于零,2.1 本构方程 (3) 力学耦合方程,,或,(4) 电学耦合方程,,或,,2.3 几何方程 (5) 变形方程,(6) 电场方程,,,2.3 边界条件 (7) 力学边界条件,(8) 电学边界条件,,在Sσ上,,在Su上,,在Sq上,,在Sv上,3 力电耦合系统的能量泛函,(1) 动能,,(2) 应变能,(3) 电势能,,(4) 外力功,(5) 外电荷功,,,符合说明： Ve、Vp和V= Ve+ Vp分别为弹性材料体积、压电材料体积和总体积。

5 系统广义泛函,由Hamilton原理，系统广义泛函为：,,将上面的本构方程、几何方程带入得到系统的能量泛函为：,,能量泛函写成矩阵形式有：,,上式即为分析压电耦合结构、建立各种位移形式的运动微分方程的变分形式方程6 有限元方法,有限元分析，即有限元方法（冯康首次发现时称为基于变分原理的差分方法），是一种用于求解微分方程组或积分方程组数值解的数值技术. 这一解法基于完全消除微分方程, 即将微分方程转化为代数方程组(稳定情形); 或将偏微分方程(组)改写为常微分方程(组)的逼近, 这样可以用标准的数值技术(例如欧拉法,龙格-库塔方法等)求解. 有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究. 它的发展可以追溯到Alexander Hrennikoff(1941)和Richard Courant(1942)的工作. 这些先驱者使用的方法具有很大的差异, 但是他们具有共同的本质特征: 利用网格离散化将一个连续区域转化为一族离散的子区域, 通常叫做元.Hrennikoff 的工作离散用类似于格子的网格离散区域; Courant 的方法将区域分解为有限个三角形的子区域, 用于求解来源于圆柱体转矩问题的二阶椭圆偏微分方程. Courant 的贡献推动了有限元的发展, 绘制了早期偏微分方程的研究结果. 从有限元的基本方法派生出来的方法很多，则称为三维单元。

如有限条法、边界元法、杂交元法、非协调元法和拟协调元法等，用以解决特殊的问题6.1 本构方程,压电材料的线性本构方程为：,,用矩阵形式表示为：,,,6.2 有限元列式(四面体单元为例),对于每一个单元，机械应变可以表示为：,,又，位移u、v、w可以用单元节点位移和形函数表示：,,,,从而可得：,,上式用矩阵形式表示为：,Bu为包含形函数微分的矩阵：,对于每个单元的x、y、z方向的位移向量表示为：,,同样对于每个单元，电场向量可以表示为为：,,又，电势可以用单元节点电势和形函数表示：,,从而：,,上式用矩阵形式表示为：,Bφ为包含形函数微分的矩阵：,,由压电材料的虚功原理：,,由前面有：,,,又：,将上两式代入虚功原理有：,,,对上面的式子进行化简，就可用得到单元的有限元方程：,,式中：,,,,对单元有限元方程进行组装可得压电材料的整体有限元方程：,,7 ANSYS中的压电分析,压电分析只能用下列单元类型之一： (1) PLANE13, KEYOPT(1)=7，耦合场四边形板单元 (2) SOLID5, KEYOPT(1)=0或3，耦合场六面体单元 (3) SOLID98, KEYOPT(1)=0或3，耦合场四面体单元 KEYOPT选项激活压电自由度：位移和电压。

对于压电分析，必须激活位移和电压自由度，即对于SOLID98要选择Degrees of Freedom选项的值为UX, UY, UZ, VOLT对于PLANE13要选择Degrees of Freedom选项的值为UX, UY, VOLT对于SOLID5和SOLID98，KEYOPT(1)=3仅激活压电选项压电材料材料参数的输入,介电常数是反映材料的介电性质，或极化性质的，通常用ε来表示不同用途的压电陶瓷元器件对压电陶瓷的介电常数要求不同例如，压电陶瓷扬声器等音频元件要求陶瓷的介电常数要大，而高频压电陶瓷元器件则要求材料的介电常数要小 压电陶瓷极化处理之前是各向同性的多晶体，这是沿1(x)、2(y)、3(z)方向的介电常 数是相同的，即只有一个介电常数经过极化处理以后，由于沿极化方向产生了剩余极化而成为各向异性的多晶体此时，沿极化方向的介电性质就与其他两个方向 的介电性质不同设陶瓷的极化方向沿3方向则有关系 ε11=ε22≠ε33 即经过极化后的压电陶瓷具有两个介电常数ε11和ε33,介电系数矩阵(介电常数) 用MP命令(Main MenuPreprocessorMaterial PropsMaterial ModelsElectromagnetics Relative PermittivityOrthotropic)定义PERX、PERY和PERZ。

这些常数分别表示的是介电系数矩阵 [ε]s（上标“s”表示常数值是在常应变条件下计得到的）的对角分量ε11,ε22,ε33压电陶瓷具有压电性，即施加应力时能产生额外的电荷其所产生的电荷与施加的应力成比例，对于压力和张力来说，其符号是相反的，用介质电位移D（单位面积的电荷）和应力T（单位面积所受的力）表示如下D=Q/A=dT 式中，d的单位为库仑/牛顿（C/N），这正是正压电效应还有一个逆压电效应，既施加电场E时成比例地产生应变S，其所产生的应变为膨胀或为收缩取决于样品的极化方向 S=dE 式中，d的单位为米/伏（m/v）上面两式中的比例常数d称为压电应变常数对于正和逆压电效应来讲，d在数值上是相同的 对于企图用来产生运动或振动(例如，声纳和超声换能器)的材料来说，希望具有大的压电应变常数d另一个常用的压电常数是压电电压常数g，它表示内应力所产生的电场，或应变所产生的电位移的关系常数g与常数d之间的关系如下：g=d/e 此外，还有不常用的压电应力常数e和压电劲度常数h；e把应力T和电场E联系起来，而h把应变S和电场E联系起来，既T=-eE ; E=-hS,压电矩阵 可以定义[e]型（压电应力矩阵）或[d]型（压电应变矩阵）的压电矩阵。

[e]型矩阵典型地与刚度矩阵[c]的各向异性弹性输入有关，而[d]矩阵与柔度矩阵[s]的输入相关 [e]矩阵和[d]矩阵使用下列数据表输入：,,,2D情况,3D情况,大多数已公布的压电材料的[e]矩阵数据都是基于IEEE标准按照x,y,z,yz,xz,xy的顺序，而ANSYS的输入数据是按照x,y,z,xy,yz,xz的顺序也就是说，输入该参数时必须通过改变剪切项的行数据以转换到ANSYS数据格式Ansys中e矩阵的输入,刚度矩阵和柔度矩阵的输入与其它材料相同7.1 ANSYS 中 PLANE13 单元,ANSYS 中 PLANE13 单元为 4节点四边形单元，每个节点最多有 4 个自由度，该单元也可以退化为 3 节点三角形单元在用于纯结构分析时，具有大变形和应力刚度能力当 PLANE13 单元用于模拟压电传感器/致动器时，在非退化状态下该单元为具有 12 个自由度的四边形单元，每个节点包含两个位移( x方向和 y 方向)自由度和一个压电自由度，单元形状和节点信息如下图 所示,PLANE13 单元,7.1 ANSYS 中 PLANE13 单元,7.1 ANSYS 中 PLANE13 单元,单元节点位移向量为：,将单元内部任意点的位移和电压用节点位移向量表示为：,7.1 ANSYS 中 PLANE13 单元,其中，u 为沿 x 轴方向位移，v 为沿 y 轴方向位移，φ 为节点电压自由度，单元形状函数 Ni为,式中，s、 t ∈[-1,1]，为单元的正则化自然坐标。

7.1 ANSYS 中 PLANE13 单元,根据线弹性应变位移物理方程可得单元内部应变与单元节点位移的关系式分别为：,其中,7.1 ANSYS 中 PLANE13 单元,单元应变可简化为,同理根据电压电场关系可得电场强度与单元节点电压的关系式为：,7.1 ANSYS 中 PLANE13 单元,其中,对于压电平面问题，通常压电材料的极化方向为沿厚度 y 方向极化，假定压电层中电压在厚度 y 方向为线性分布，单元内部的电场强度为常数，设压电层厚度为 tp，则可得电场强度 Ee为：,7.2 ANSYS 中 SOLID5 单元,SOLID5 单元为 8 节点六面体实体耦合压电场单元，每个节点最多有6 个自由度，当将 SOLID5 单元用于模拟压电传感器/致动器时，该单元为具有 32 个自由度的实体单元，每个节点包含三个位移( x 方向、 y 方向和 z 方向)自由度和一个压电自由度，单元形状和节点信息如下图 所示SOLID5 单元,7.2 ANSYS 中 SOLID5 单元,单元节点位移向量为：,将单元内部任意点的位移和电压用节点位移向量表示为：,其中，u 为沿 x 轴方向位移，v 为沿 y 轴方向位移，φ 为节点电压自由度，单元形状函数 Ni如下：,7.2 ANSYS 中 SOLID5 单元,式中：s、 t ∈[-1,1]，为单元的正则化自然坐标.,根据线弹性应变位移物理方程可得单元内部应变与单元节点位移的关系式分别为：,其中,7.2 ANSYS 中 SOLID5 单元,7.2 ANSYS 中 SOLID5 单元,单元应变可简化为,同理根据电压电场关系可得电场强度与单元节点电压的关系式为：,其中,7.2 ANSYS 中 SOLID5 单元,对于三维压电问题，通常压电材料的极化方向为沿厚度 z 方向极化，假定压电层中电压在厚度 z 方向为线性分布，单元内部的电场强度为常数，设压电层厚度为 t p，则可得电场强度 Ee为：,7.2 ANSYS 中 SOLID5 单元,END, THANKS!,。