2022年广东工业大学数值计算试卷及答案.pdf

学而不思 则惘，思而不学 则殆数值计算引论学院机电工程学院专业机械设计制造及其自动化年级班别 20XX级（ 6）班学号 3114000271 学生姓名刘就杰20XX年 11 月精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学而不思 则惘，思而不学 则殆一 编写雅可比迭代法求解 线性方程 组的程序，要求附有算例（ 20 分）可能的算例包括基本的验证性算例、方程系数随机生成的一般算例、用于算法对比的比 较性算例等， 对各算例的 结果进行分析雅可比迭代法的matlab 程序如下function x=Jacobi(A,b,x0,tol) %雅可比迭代法解线性方程 组%A为 系数矩 阵，b 为右端 项 ，x0 为初始向量， tol为误 差精度sprintf(USAGE:Jacobi(A,b,x0,tol) D=diag(diag(A);%diag(x) 返回由向量x 的元素构成的对角矩 阵U=triu(A,1);%triu(A)提取矩 阵 A 的上三角部分生成上三角矩阵L=tril(A,-1);%tril(A)提取矩 阵 A 的下三角部分生成下三角矩阵B=-D(L+U);%B为 迭代矩 阵dl=Db; x=B*x0+dl; n=1; while norm(x-x0)=tol x0=x; x=B*x0+dl; n=n+1; end n %n 为迭代次数高斯 -赛德尔迭代法的matlab 程序如下：function x=Guass_seidel(A,b,x0,tol) %高斯 - 赛德尔迭代法解 线性方程 组%A为 系数矩 阵，b 为右端 项 ，x0 为初始向量， tol为误 差精度sprintf(USAGE:Guass_seidel(A,b,x0,tol) D=diag(diag(A);%diag(x) 返回由向量x 的元素构成的对角矩 阵U=triu(A,1);%triu(A)提取矩 阵 A 的上三角部分生成上三角矩阵L=tril(A,-1);%tril(A)提取矩 阵 A 的下三角部分生成下三角矩阵G=-(D+L)U;%G为 迭代矩 阵dl=(D+L)b; x=G*x0+dl; n=1; while norm(x-x0)=tol x0=x; x=G*x0+dl; n=n+1; end n %n 为迭代次数调用编好的程序求解方程组：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页学而不思 则惘，思而不学 则殆1234123412341234 541012581034xxxxxxxxxxxxxxxxA=5 -1 -1 -1 ;-1 10 -1 -1;-1 -1 5 -1;-1 -1 -1 10; b=-4;12;8;34; x0=0;0;0;0; tol=1e-6; x=Jacobi(A,b,x0,tol) x=Guass_seidel(A,b,x0,tol) 实验结果如下：ans = USAGE:Jacobi(A,b,x0,tol) n = 20 x = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 ans = USAGE:Guass_seidel(A,b,x0,t) n = 12 x = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000取相同的初始值(0)0,x达到同样的精度10-6，雅可比迭代需要迭代20 次，而高斯 - 赛德尔迭代法只需12 次。

实验总结 ：通过这 次实验 ，对 雅可比迭代法以及高斯-赛德 尔 迭代法求解 线性方程 组 的基本原理有了 进一步的理解，同时了解了雅可比和高斯-赛 德尔迭代法的 优点，即雅可比和高斯-赛 德尔在求解线性方程 组的过程中具有更快的收敛速度，而高斯-赛德尔比雅可比的收敛速度更快（即取相同的初始值，达到同 样精度所需的迭代次数较少）二 编写分段二次拉格朗日插 值的程序，要求附有算例（ 20 分）对在节点 0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0 上进行插值，求 x=0.7 处的值，绘出被插 值函数与插 值函数的 图形，予以 对比精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学而不思 则惘，思而不学 则殆建立如下拉格朗日插 值函数：function y=lagrange(x0,y0,x); n=length(x0); m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 在 matlab 中用拉格朗日插 值求 0.7 处的值 exp(0.7) ans = 2.013752707470477 lagrange(x,y,0.7) ans = 2.013751960394443 绘出被插 值函数与插 值函数的 图形x=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0; y=exp(x); x0=-5:0.001:5; y0=lagrange(x,y,x0); y1=exp(x0); plot(x0,y0,r) hold on plot(x0,y1,g) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学而不思 则惘，思而不学 则殆红线为 插值函数， 绿线是被插 值函数，由 图像可以知道，在区 间（-2，2）是较好拟合的，当超出 这个范围后就会偏差越来越大。

三 编写复化辛普森 积分的程序，要求附有算例（20 分）对定积分,计算精度达到）复化辛普森 积分的程序function S=bianfuhuasimpson(fx,a,b,eps,M) % 变步长复合 simpson 求积公式% fx - 求 积函数（函数文件）% a, b - 求积 区间% eps - 计算精度% M- 最大允 许输 出划分数n=1; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学而不思 则惘，思而不学 则殆h=(b-a)/n; T1=h*(feval(fx,a)-feval(fx,b)/2; Hn=h*feval(fx,(a+b)/2); S1=(T1+2*Hn)/3; n=2*n; % 最好与倒数第三行保持一致（变步长）while n=M T2=(T1+Hn)/2; Hn=0; h=(b-a)/n; for j=1:n x(j)=a+(j-1/2)*h; y(j)=feval(fx,x(j); Hn=Hn+y(j); end Hn=h*Hn; S2=(T2+2*Hn)/3; fprintf( n=%2d S2=%-12.9f S2-S1=%-12.9fn,n,S2,abs(S2-S1); if abs(S2-S1)1E10;% 发 散不 进行迭代 disp( 发散 ) % 提示 发 散break;end ;if abs(x-x0) Untitled3 f = 内联函数 : f(x) = (3*x-x2-1)(1/3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页学而不思 则惘，思而不学 则殆x= 0.629960524947437 0.789995893719114 0.906899308403962 0.964856599317808 0.987723757473192 0.995840405544922 0.998605758099246 0.999534387968673 0.999844699607740 0.999948222482311 0.999982739635881 0.999994246412883 0.999998082122915 i = 13 x = 0.999998082122915 由程序运行 结果知道 该方法收 敛，用了 13 次就达到求解。

2）xk+1=(3*xk-xk3-1)(1/2) Untitled3 f = 内联函数: f(x) = (3*x-x3-1)(1/2) x= 0.612372435695794 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页学而不思 则惘，思而不学 则殆 0.779408521701848 0.929920594922635 0.992779330733286 0.999921978095163 0.999999990869111 1.000000000000000 i = 7 x = 1.000000000000000 由程序运行 结果知道，该方法收 敛，用了 7 次就达到求解相比第一种方式更快，更精确3）xk+1=(xk3+xk2+1)/3 Untitled3 f = 内联函数: f(x) = (x3+x2+1)/3) x= 0.458333333333333 0.435450424382716 0.424061968869700 0.418695667957701 0.416235317082047 0.415121791135062 0.414620807126294 0.414396016061541 0.414295274559236 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页学而不思 则惘，思而不学 则殆 0.414250151156419 0.414229944730161 0.414220897204816 i = 12 x = 0.414220897204816 由程序运行 结果知道 该方法收 敛，用了 12 次就达到求解。

4）xk+1=(-1)/(xk2+xk-3) Untitled3 f = 内联函数: f(x) = (-1)/(x2+x-3) x= 0.444444444444444 0.424083769633508 0.417350219079978 0.415201597459088 0.414523917231877 0.414310962753779 0.414244121582387 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页学而不思 则惘，思而不学 则殆 0.414223149438888 0.414216569954722 i = 9 x = 0.414216569954722 由程序运行 结果知道 该方法收 敛，用了 9 次就达到求解比方式3 快且精确5）xk+1=(xk-(xk3+xk2-3*xk+1)/(3*xk2+2*xk-3) Untitled3 f = 内联函数: f(x) = (x-(x3+x2-3*x+1)/(3*x2+2*x-3) x= 0.400000000000000 0.413953488372093 0.414213470906413 0.414213562373084 i = 4 x = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页学而不思 则惘，思而不学 则殆 0.414213562373084 由程序运行 结果知道 该方法收 敛，用了次就达到求解。

其速度与效果优于第 3，第 4种方式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页。