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清华电子系山秀明《信号与系统》电子课件第三章习题解答.pdf

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  • 文档编号:106817623
  • 上传时间:2019-10-16
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    • 1 3-1 解题过程: (1)三角形式的傅立叶级数(Fourier Series,以下简称 FS) ( )()() 011 1 cossin nn n f taantbntωω +∞ = =++⎡⎤ ⎣⎦∑ 式中 1 1 2 T π ω=,n为正整数, 1 T为信号周期 (a)直流分量 ( ) 01 0 0 1 1 tT t af t dt T + = ∫ (b)余弦分量的幅度 ( )() 01 0 1 1 2 cos tT n t af tnt dt T ω + = ∫ (c)正弦分量的幅度 ( )() 01 0 1 1 2 sin tT n t bf tnt dt T ω + = ∫ (2)指数形式的傅立叶级数 ( )() 1 1 jnt n f tF ne ω ω +∞ =−∞ =∑ 其中复数频谱 ()( ) 01 1 0 1 1 1 tT jnt n t FF nf t edt T ω ω + − == ∫ () 1 2 nnn Fajb=− () 1 2 nnn Fajb − =+ 由图 3-1 可知,( )f t为奇函数,因而 0 0 n aa== ( )()()()() 2 22 111 00 1 0 442 sinsincos1 cos 2 02,4, 2 1,3, T TT n EEE bf tnt dtnt dtntn TTntn n E n n ωωωπ ωπ π − ====−⎡⎤ ⎣⎦ =⎧ ⎪ =⎨ = ⎪ ⎩ ∫∫ ? ? 所以,三角形式的 FS 为 ( )()()() 1111 2112 sinsin 3sin 5 35 E f tttt T π ωωωω π ⎡⎤ =+++= ⎢⎥ ⎣⎦ ? 指数形式的 FS 的系数为 00, 2, 4, 1 20, 1, 3, nn n Fjb jE n nπ =±±⎧ ⎪ = −=⎨− =± ± ⎪ ⎩ ? ? 2 所以,指数形式的 FS 为 ( ) 1111 33 1 2 33 jtjtjtjt jEjEjEjE f teeee T ωωωω π ω ππππ −− = −+−++=? 3-15 分析:半波余弦脉冲的表达式( )cos 22 f tEtu tu t πττ τ ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞ =+−− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦ 求( )f t的傅立叶变换有如下两种方法。

      解题过程: 方法一:用定义 ( ) 2 2 2 2 2222 cos 2 22 cos 2 j t jtjt jjjj FEt edt E eedt EE eeee jj EE τ ω τ ππ τ ωω ττ τ πτπτπτπτ ωωωω ττττ π ω τ ππ ωω ττ τ ω π ω τ − − ⎛⎞⎛⎞ −−+ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ − ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞ −−−−++ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ ⎡⎤ =+⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎡⎤⎡⎤ =−−−⎢⎥⎢⎥ ⎛⎞⎛⎞ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ −+ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ =+ − ∫ ∫ 2 cos 2 2cos 2 1 E τ ω π ω τ τω τ ωτ π π ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ + ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ = ⎡⎤ ⎛⎞ − ⎢⎥ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎢⎥ ⎣⎦ 方法二:用 FT 的性质和典型的 FT 对 ( )cos 22 f tEtu tu t πττ τ ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞ =+−− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦ ( )cos 222 E Ftu tu t πττ ω πτ ⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞ =∗+−− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦ FFFF 其中cost πππ π δ ωδ ω τττ ⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞ =++− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦ F F, 2 sin 222 u tu t ττωτ ω ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞ +−−= ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦ F F 代入( )cos 222 E Ftu tu t πττ ω πτ ⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞ =∗+−− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦ FFFF得 3 ( ) 2 2 sin 22 sinsin 22 2cos 2 1 E F E E ππωτ ωπ δ ωδ ω πττω ππ ωτωτ ττ ππ ωω ττ τω τ ωτ π π ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞ =⋅++−∗ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦ ⎧⎫⎡⎤⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ +− ⎜⎟⎜⎟⎪⎪⎢⎥⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎣⎦⎣⎦ =+ ⎨⎬ ⎪⎪ +− ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎭ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ = ⎡⎤ ⎛⎞ − ⎢⎥ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎢⎥ ⎣⎦ 其频谱图如下图所示: 3-19 分析:本题意在说明:对于两频域信号,如果其幅频特性相同,但是相频特性不同则 它们对应的时域信号是不一样的。

      解题过程: (a)( )()() 00 FA uuωωωωω=+−−⎡⎤ ⎣⎦, ( )()() 000 tuuϕ ωωωωωω=+−−⎡⎤ ⎣⎦ 所以,( )( ) ( ) ()() 0 00 jj t FFeAeuu ϕ ωω ωωωωωω==+−−⎡⎤ ⎣⎦ 先求( )()() 100 Fuuωωωωω=+−−的 FT:( ) 1 ft 由()()() ccc c Satuu π ωωωωω ω =+−−⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ F F 4 可知 ()()() 1 0 000 uuSat ω ωωωωω π − +−−=⎡⎤ ⎣⎦ F F 再由FT的平移性质:( )()() {}() 0 0 0000 j t A f tAeuuSatt ω ω ωωωωω π +−−=+⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ = F= F (b)( )()() 00 FA uuωωωωω=+−−⎡⎤ ⎣⎦ ( )()( )( )() 00 22 uuuu ππ ϕ ωωωωωωω= −+−+−−⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ 所以,( )( ) ( ) ()( )( )() 2 2 00 j j j FFeAeuuAeuu π π ϕ ω ωωωωωωωω ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ==+−+−−⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ ()( )( )() 00 jA uujA uuωωωωωω= −+−+−−⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ 欲求( )Fω的反变换,可利用 FT 的频域微分性质: ( )()( )( )() 00 d FjAjA d ωδ ωωδ ωδ ωδ ωω ω = −+−+−−⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ 另( )( ) 00 1 1 11 22 jtjt djAjA ftFee d ωω ω ωππ −−⎧⎫ ⎡⎤⎡⎤== −−+− ⎨⎬ ⎣⎦⎣⎦ ⎩⎭ F F ()() 00 0 21 cos 2 jtjt jAjA eet ωω ω ππ − =−−=− 由 FT 的频域微分性质,有( )( )() 2 0 10 2 cos1sin 2 tAA f tftt tt ω ω ππ −⎛⎞ ==−= ⎜⎟ ⎝⎠ 3-22 分析:FT 的时域对称性:若( )( )Ff tω=⎡⎤ ⎣⎦ F F,则( )()2F tfπω=−⎡⎤ ⎣⎦ F F (1)( )1tδ↔∵,() 0 0 j te ω ω δω+↔ ∴由 FT 的时频对称性,有()() 0 00 22 jt e ω πδωωπδ ωω↔−+=− ∴( )() 0 Fωδ ωω=−的时间函数( ) 0 1 2 jt f te ω π = (2)()()() 0000 2u tu tSaωωωω ω+−−↔∵ ∴由 FT 的时频对称性,有 ()()()()() 000000 222Satuuuuωωπωωωωπωωωω↔−+−−−=+−−⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ 即()()() 0 000 Satuu ω ωωωωω π ↔+−− ∴( )()() 00 Fuuωωωωω=+−−的时间函数( )() 0 0 f tSat ω ω π = (3)( ) () ()() 0 00 00 0 Fuu others ω ωωω ωωωωωπ π ⎧ ≤ ⎪ ==+−−⎡⎤ ⎨ ⎣⎦ ⎪ ⎩ 5 利用(2)的结论,( )Fω的时间函数( )() 2 0 0 2 f tSat ω ω π = 3-32 解题过程:利用性质:( )( )()( )( ) 1 2 x ty tx ty t π ⋅=∗⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ FFFFFF 单边正弦函数的 FT: () ( )()( ) ()()( ) ()() 00 00 00 22 0 1 sinsin 2 11 2 2 t u ttu t j j j ωω π π δ ωωδ ωωπδ ω πω πω δ ωωδ ωω ωω =∗⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ⎡⎤ =⋅+−−∗+⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ =++−+⎡⎤ ⎣⎦ − FFFFFF 。

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