试验设计(陈魁)第二章.docx

第2章2氐和3k因子设计2.1 因子设计的一般概念很多试验包含着两个．三个或更多的因子．对这些因子产生的效果都要进行研究．一 般说来,对这种类型的试验,因子设计方法是最有效的．使用因子设计方法,在每一个完全 的试验或试验的多次重复中,各个因子的各个水平的所有可能的组合都要考虑．例如，假 若因子A有a个水平，因子B有b个水平.完成全部试验应包合所有的ab个组合.一个因子的效果是由因子水平的改变而引起的反应的变化，经常称为主要效果．例2.1.1设某一试验有两个因子A和B.因子A有两个水平A” A2，因子B有 两个水平B1,B2，试验所得结果数据如表2. 1. 1所示.表 2.1.l 两因子试验数据表之一表 2.1.l 两因子试验数据表之二试考察因子A, B的效果.解 先考虑表2. 1 . 1 的情形因子A的主要效果可看成是在A的第一个水平下的平均反应与在第二个水平下的 平均反应之差，记为A,即人 40 + 52 20 + 30 ’A = - = 21.2 2类似地，因子B的主要效果是,30 + 52 20 + 40 ’B = — = 11.2 2再考虑表2. 1. 2的情形因子A的主要效果是A =止—4 = 1,因子B的主要效果是40 +12 20 + 50B = — 2 2分别画出这两种情况的图形，如图2．1．1 所示．因子A 因子B(a) (b)图 2.1.1(a)无交互作用；(b)有交互作用从图2.1J看出，在(a)中,Bi, %线近似平行.而在(b)中，Bi, %线明显地相交•这 说明在第一种情况下，因子A,B之间没有交互作用•第二种情况下，因子A, B之间有交 互作用.交互作用是不能忽视的,有时它比因子的作用还要大,不考虑到这一点就可能会 犯大的错误,而因子设计方法是不会漏掉交互作用的,因此说，因子设计是有效的设计方 法，特别是当交互作用存在的时候．下面只介绍一些特殊情况的设计方法,这些方法广泛地用于某些研究工作当中,同时, 也是一些其他设计的基础.一般的和更复杂的情况的设计方法可以参阅书后主要参考书 目中的［6］及中译本［20］或其他书籍．2.2 2k 因子设计假设试验中共有k个因子，每个因子都只有两个水平.这些水平可以是数量性的：如 温度、压力或时间的两个值；也可以不是数量性的:如两个机器、两种操作方法、因子的 出现与不出现两种情况，这些都是质量性的•这种设计的安排总共有2k个不同的组合，若 每种组合下取一个观察值，总观察值共有2k个，因此叫做2k因子设计.我们对2k设计作如下假设：(1)因子是固定的；⑵设计是完全随机的；⑶一般都 满足正态性；( 4)反应近似于线性．2.2.1 22 设计2k设计中最简单的就是22设计，这种情况只有两个因子，每个因子两个水平，这两个水平可以很一般地用“低”(low)和“高”(high)这种形象的方法表示.下面就来看22设计是怎么分析、解决问题的．假设在每一种水平组合下作n次重复观察，即取n个观察值.为分析问题的方便， 引进下列记号：A表示因子A的效果，B表示因子B的效果，AB表示交互作用AXB 的效果.a表示因子A在高水平、因子B在低水平情况下观察值之和；b表示因子A 在低水平、因子B在高水平情况下观察值之和；ab表示因子A，B都在高水平情况下 观察值之和，l表示因子A，B都在低水平情况下观察值之和.见图2. 2. 1.因子 A 的平均效果： 在 B 的低水平下为 丄(。

—/)，在B的高水平下为丄⑺方—b).总平均效 nn 果是这两个数的平均值，即b abA =丄[(ab - b) + (a - /)]2n= (ab + a — b — /)2n(2.2.1la因子B的平均效果：在A的低水平下为 丄(方—/)，在A的高水平下为.ab — a).总平均效 nn0l低高因子A果是这两个数的平均值，即图 2.2.1 22设计的因子水平组合B =丄[伽—a) + (b — /)]2n2 .2 .2)= (ab + b — a — /)2n交互作用AXB的平均效果AB定义如下：它是在B的高水平下与在B的低水平下，A的平均效果之差的平均值，即AB = — [(ab — b) — (a — /)]2n= (ab + / — a — b)2n也可看成在A的高水平下与在A的低水平下，B的平均效果之差的平均值，即AB = — [(ab — a) — (b — /)]2n= (ab + / — a — b). (2.2.2)2n这里介绍一个方便的记忆方法(看图2.2 .1中的正方形).因子A的效果A是右边(高水平)两项之和减去左边(低水平)两项之和，再被2n除;因子B的效果B是上边（高水平）两项之和减去下边（低水平）两项之和，再被2n除； 交互用A X B的效果AB是右上方（两高水平）与左下方（两低水平）两项之和减去左上方（A低B高）与右下方（A高B低）两项之和，再被2n除. 下面进行方差分析.定义2.2.1 若有线性组合区Cy满足约束条件乞C = 0,rrr =1则称这样的线性r=1组合为对照（contrast），并记为对照）=£ Cyrrr =12.2.4)有了这个定义，则C的离差平方和为(区Cy s =十—C nLc 2r r =1)2 (对照)2—= Cn区C 2rr =12.2.5)根据式（2.2.4）和式（2.2.5），从式（2.2.1），式（2.2.2）和式（2.2.3），可以 定义因子A,B,交互作用AXB的总效果分别为(对照)=ab + a 一 b 一 l,A(2.2.6)(对照)=ab + b 一 a 一 1,B(2.2.7)(对照)=ab +1 一 a 一 b,AB(2.2.8)它们都是的ab,a,b和l的线性组合，组合系数只有1和（一1），满足工C = 0•同时有rr =1工C2 = 4 .因此，A,B,AB的离差平方和分别为rr =1(2.2.9)(2.2.10)(2.2.11)S =丄（对照）2 = （ab + " 一 b 一 1）2A 4 n A 4 nS =丄（对照）2 = （ab + b 一 " 一 1）2 ,B 4 n B 4 nS =丄（对照）2 =（此 + 1 - a - b）2AB 4 n AB 4 n例2.2.1 考虑一个化学反应过程，这里有两个因素：因素A为反应物的浓度，它有 两个水平,15%,25%；因素B为催化剂的是否使用，有两个水平:不用、用.每种组合作3 次试验．因素各水平的组合情况为：low)15％B(low)不用催化剂high)25％B(low)不用催化剂low)15％B(high)用催化剂A（high） 25％ B（high） 用催化剂 全部试验得出的观察值如表2.2.1 所示．表 2.2.1因子水平组合i观察值(n=3) yik和y.记号123AB]28252780lAhB]363232100aABh18192360bAhBh31302990ab试分析因子A, B和交互作用AXB对化学反应的影响.解 用前面的分析方法解这个问题． 由表2.2.1,很容易求出l 二 28 + 25 + 27 二 80a 二 36 + 32 + 32 二 100 b 二 18 +19 + 23 二 60， ab 二 31 + 30 + 29 二 90.由此得（见式（2.2.6）、（2.2.7）和（2.2.8））（对照）二 90 +100 - 60 - 80 二 50 ,A（对照）二 90 + 60 -100 - 80 = -30,B(对照)=90 + 80 -100 - 60 = 10 .AB因子A, B和交互作用AXB的平均效果分别为(注意：n = 3)(见式(2.2.1)、(2.2.2) 和(2.2.3))A = 丄 x (对照)=凹=8.33,2 x 3 a 61 －30B = x (对照)=——= — 5.00 ,2 x 3 b 6AB =丄 x (对照)=巴=1.67.2 x 3 AB 6再由式(2.2.9)、式(2.2.10)和式(2.2.11)，得离差平方和分别为5024x3= 208.33(-30)24 x 3= 75.00 ，SAB1024^3=8.33参照第 1 章方差分析中式（1.2.35），求总离差平方和 S 和误差平方和 S . TES 二曲 3 y2t ijk 2 x 2 x 3i=1 j=1 k=13302=282 + 252 h f 292 -12=9398.00 - 9075.00 = 323.00,S = S -S -S -S E T A B AB=323.00-208.33-75.00-8.33= 31.34 .列方差分析表，如表 2.2.2 所示.表2.2.2 例2.2.1方差分析表方差来源平方和自由度均方F因子A208.331208.3353.15因子B75.00175.0019.13AB8.3318.332.13误差E31.3483.92总和T323.0011对 A, B 给出 a= 0.01，对 ab 给出 a = 0.05，查出 F (1,8) = 11.26 , F (1,8)=0.01 0.055.23 , F = 53.15 > 11.26 , F = 19.13 > 11.26, F = 2.13 < 5.23.A B AB所以，因子A, B对化学反应均有显著影响，A的影响效果更显著，交互作用AxB无 显著影响.以上所用的方法，通常叫做2k因子设计的标准分析方法.下面介绍22设计的符号规则.各因子的线性组合式按顺序l, a , b , ab写出来，称为标准顺序，用这个标准顺序 表示因子效果，各项的系数如表2.2.3 所示.labab效果A-1+1-1+1B-1-1+1+1AB+1-1-1+1如果引进符号I表示整个试验的总和全用“+号”把“+1”、“-1”，简写为“+”、“-”, 并把行与列交换，这样就得出一个完整的符号表，如表2.2.4 所示.表2.2.4从纵向看，每列按l，a，b，ab配上该列顺序的+,-号构成的和式，就是 该列因子的（对照）定义式.表 2.2.24有下列性质：（1） 除I外，各列中“+”号、“-”号个数相等；（2） 任意两列（包括I列）同行系数乘积之和为0这叫正交性.2.2.2 23 设计23因子设计有3个因子A，B，C，每个因子都是两个水平，这里有主要效果A，B， C,两两交互作用的效果为AB，AC, BC，3个因子交互作用的效果为ABC.为便于计 算这些效果，作一个立方体.按照与22 设计类似的原则和方法定出立方体各顶点的记 号，见图 2.2.2.计算效。