二重积分变量代换.doc

§4二重积分的变量代换前言有一种情况，函数f在D上可积，但不论采纳哪一种积分序次都“算不出来”比如Ie(x2y2)dxdy，D=(x,y)|x2y2a2D剖析：∵函数f(x,y)=e(x2y2)在有界地区D=(x,y)|x2y2a2到处连续，∴fR（D）Iadxa22x22e(x2y2)dy=aex2dxa22x22ey2dyaaxaaxaa2x222a2a2x22或许Iadya2x2e(xy)dx=aeydya2x2exdx计算不出来！fR（D），但化为二次积分后算不出来，所以，我们有必需找寻更有效的计算二重积分的方法.联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法.在二重积分中可否利用这类化难为易的思想呢？二重积分的变量代换，就是这类方法，在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起侧重要的作用.对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分地区或被积函数.1 定积分换元积分法公式的改写2 一元函数yf(x)在x0的导数的绝对值f(x0)的几何意义3 函数队列式的几何意义设变换xx(u,v),yy(u,v)的Jacobi(x,y)0D是在该变换的逆变换(u,v)uu(x,y),vv(x,y)下XY平面上的地区D在UV平面上的象.由条件(x,y)这里的0,(u,v)逆变换是存在的.一般先引出变换uu(x,y),vv(x,y),设函数uu(x,y),vv(x,y)在XOY平面上的区域D内有连续的偏导数.在此变换之下,XOY平面上的地区D变为UV平面上的地区D,且(x,y)(x,y)10.由此求出变换xx(u,v),y(u,v)设Jy(u,v)，而且.(u,v)(u,v)(x,y)引理1(增补)设变换T：u(x,y),vv(x,y)如上所述,又设在XOY平面上有一块包u1含点(x,y)的地区,点(x,y)和都在D内.经过变换uu(x,y),vv(x,y)将点(x,y)变换为UV平面上一点(u,v),将变换为UV平面上包括点(u,v)的一块地区*.那么当无穷地向点(x,y)缩短时,它们的面积之比|*|的极限为|J|,即||lim|*|(u,v).(x,y)||(x,y)证明思路（拜见刘玉琏教材下册9225定理3）:(1)在D内拿出一点A(x,y),作一个矩形ABCD(边与坐标轴平行,字母ABCD依逆时针标志).设四个极点的坐标为A(x,y),B(xdx,y),C(xdx,ydy),D(x,ydy).则其面积分为dxdy.(2)变换uu(x,y),vv(x,y)把该矩形变为UV平面上的一个曲边四边形ABCD，设四个极点的坐标为A(u1,v1)，B(u2,v2)，C(u3,v3)，D(u4,v4).(3)用Taylor公式把曲边四边形ABCD的四个极点坐标用x和y表示出来:A:u1u(x,y),v1v(x,y);B:u2u(xdx,y)u(x,y)ux(x,y)dx(dx),v2v(xdx,y)v(x,y)vx(x,y)dx(dx);C:u3u(xdx,ydy)u(x,y)ux(x,y)dxuy(x,y)dy(dx)(dy),.v3v(xdx,ydy)v(x,y)vx(x,y)dxvy(x,y)dy(dx)(dy);D:u4u(x,ydy)u(x,y)uy(x,y)dy(dy),v4v(x,ydy)v(x,y)vy(x,y)dy(dy).(4) 略去(dx)和(dy),得仿射变换.在该仿射变换之下,矩形ABCD变为平行四边形.用该平行四边形的面积近似取代曲边四边形ABCD的面积.平行四边形的极点坐标是上述A,B,C,D的极点坐标表达式中略去(dx)和(dy)所剩的式子.2u1v11该平行四边形的面积=u2v21u3v31u(x,y)v(x,y)1=u(x,y)ux(x,y)dxv(x,y)vx(x,y)dx1u(x,y)ux(x,y)dxuy(x,y)v(x,y)vx(x,y)dxvy(x,y)1uv1(u,v)dxd.yuxdxvxdx0uydyvydy0(x,y)注1引理1即证了然换算公式dxdy(x,y)dud.v(u,v)一、二重积分的一般变量变换公式引理2变换T：xx(u,v)，yy(u,v)（*）.经过（*）把变为D，在上有对于x,y(x,y)0（在内不为0），则地区D的连续偏导数，而且变换（*）是一对一的，又设J(u,v)的面积(D)dxdyJ(u,v)dudv（5）D证明P233定理21.13设DR2有界闭地区，fR(D)，变换T：xx(u,v)，yy(u,v)（*）.通过（*）把变为D，在上有对于x,y的连续偏导数，而且变换（*）是一对一的，又设J(x,y)0（在内不为0），则(u,v)f(x,y)J(u,v)dxdyf(x(u,v),y(u,v))J(u,v)dudvD证明P235xy例1exydxdy,D:x0,y0,xy1.D解 P235-236注2当被积函数形如f(a1xb1yc1,a2xb2yc2)(a1b2a2b1),积分地区为直线型时,3可试用线性变换ua1xb1yc1,va2xb2yc2.补例1x2y2dxdy,D:y1x,y2x,y1,y3.D2xx解设uy,vxy.则(u,v)[1,2;1,3].x2(u,v)y12y，(x,y)x1.x2x(x,y)yxx(u,v)2y2u所以,1v2dudv13v2dv2du1v313lnu2126ln2.D2Du211u23232注3若地区D是由两组“相像”曲线(即每组中的两条曲线仅以一个参数不一样的取值相差别)围成的四线型地区,可引进适合的变换使其变为矩形地区.设地区D由以下两组曲线围成:第一组:F(x,y,p)0,F(x,y,q)0,(pq);第二组:G(x,y,a)0,G(x,y,b)0,(ab).可试用变换F(x,y,u)0,G(x,y,v)0.(u,v)[p,q;a,b].从中解出xx(u,v),yy(u,v).在此变换之下,地区D变为UV平面上的矩形地区[p,q][a,b].例2求由抛物线y2mx,y2nx(0mn)和直线yx,yx(0)所围平面地区D的面积.解 P236注 4在详细问题中，选择变换公式的依照有两条：（1）使变换的函数简单积分；（2）使得积分限简单安排.二、用极坐标变换计算二重积分1 极坐标变换下的二重积分变换公式极坐标变换是一种特别的变量替代.极坐标变换T：xrcos,yrsin（8）此时(x,y)=|cosrsin|r(r,)sinrcos注 5在定理21.13中，假定J≠0，但有时会碰到这类情况.变换队列式在地区内个别点上等于0.或只在地区个别线段上等于0，而在其余点上非0，此时定理21.13结论能建立.4定理21.14设f(x,y)知足定理21.13的条件，在极坐标变换（8）下，有f(x,y)dxdy=f(rcos,rsin)rdxdy（9）DD'证明P2382 在什么状况下使用极坐标变换当积分地区是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为f(x2y2)时，采纳极坐标变换来计算常常简易得多.3 二重积分在极坐标变换下怎样化为二次积分来计算下边分状况议论之情况1若D'=(r,)|r1()rr2(),12，r1()，r2()为[1，2]上的连续函数，则称之为型地区（如P239图21-24）.这时，近似于上节的x-y-型地区的取法，可将之化为下边形式：2 r2()f(rcos,rsin)rdrd=dr1()f(rcos,rsin)rdr（10）D'1两种特例（1）若极点O是积分地区的内点，则变换T后的地区为D'=(r,)|0rr(),02此处r=r()是D'的界限曲线（如P239图），此时有21-262r()f(rcos,rsin)rdrd=0d0f(rcos,rsin)rdr(12)D '(2)若积分地区的界限曲线r=r()经过极点O时（如P239图21-27），应先求出极径，即使r()=0的两个角度1，2，此时有。