永磁无刷直流电机空载气隙磁场和绕组反电势的解析计算.docx

永磁无刷直流电机空载气隙磁场和绕组反电势的解析计算王兴华，励庆孚，王曙鸿（西安交通大学电气工程学院，陕西 西安710049）摘 要：该文利用许-克变换构造了考虑齿槽效应的气隙相对比磁导函数， 该气隙相对比磁导函数反映了齿槽效应对气隙磁场分布的影响，且这种影响的程 度随气隙中的径向位置而变化在忽略铁心饱和的情况下，结合偏微分方程的解 析算法，提出了一种考虑齿槽效应的永磁无刷直流电机空载气隙磁场分布和相绕 组反电动势的解析计算方法计算结果与二维有限元计算结果对比，其计算波形 和大小吻合很好证明此方法是正确的、可靠的，为永磁无刷直流电机优化设计 和性能分析提供了基本分析手段关键词：永磁无刷电机；气隙磁场；反电势；解析计算1引言对于永久磁钢表面安装的永磁电机，由于定子铁心开有若干槽，使气隙磁导 并非均匀值，从而导致电机气隙磁场并非理想的梯形波，其中含有幅值较大的齿 谐波，当电机旋转时会引起相绕组交链磁链的波动，使相绕组反电势出现波动， 进而导致绕组相电流的脉动，引起电磁转矩的波动，最终引起电机的振动和噪声可见，要准确计算永磁电机的电磁转矩波动，首先应准确计算电机气隙内的 磁场分布，从而可以准确计算出电机相绕组的反电动势变化波形和电机的电磁转 矩波动，以确定有效的改进措施和控制策略。

而准确计算永磁电机气隙内磁场分 布的关键是如何考虑齿槽结构对气隙磁场分布的影响在气隙磁场的求解方法中，有限元数值计算方法可以准确计算出气隙磁场的 分布波形，具有通用性强、适用于各种媒质的特点但其前处理过程复杂、计算 时间较长，对使用者有较高的技术要求，在电机优化设计中不便采用解析方法 可以较准确地计算气隙磁场分布波形，同时可以观察到气隙磁场分布与结构尺寸 之间的关系，具有很大的工程实用价值文献［1］、［2］利用解析方法对气隙磁场 进行计算，求解出气隙磁场的分布波形，但文中忽略了齿槽的影响文献［3］讨 论了永磁电机中定子斜槽（或转子斜极）、永磁体磁化方式、气隙长度、转子半 径和永磁体极弧系数对气隙磁场分布的影响，给出计算气隙磁场分布的经验公 式，由此计算出相绕组反电动势变化波形，可是文中忽略了齿槽的影响，公式的 通用性也较差文献［4］采用等效磁路的方法构造出考虑齿槽效应的气隙磁导分 布函数，以此求解电机内气隙磁场的分布，但文中等效磁路法默认为齿槽效应对 气隙磁场分布的影响程度与气隙内的径向位置无关，这与实际磁场分布有一定偏 差［5］文献［6］采用部分区域的方法，利用连续边界条件求解齿槽对气隙磁场的 影响，但文中忽略了永磁体相对磁导率％的影响。

本文以许-克变换为基础，构造出考虑齿槽效应的气隙相对比磁导函数，该气 隙相对比磁导函数反映了齿槽效应对气隙磁场的影响程度，且这种影响程度随气 隙径向位置而变化在忽略铁心饱和的情况下，本文结合偏微分方程的解析算法， 提出了一种永磁无刷直流电机空载气隙磁场分布和相绕组反电势的解析计算方法，其计算结果与有限元计算结果对比，两者吻合很好证明此计算方法是正确 的、可靠的，为永磁电机的设计和性能分析提供了依据2气隙相对比磁导函数在永久磁钢表面安装的永磁电机（以内转子电机为例）中，定子铁心表面开 有若干个槽，转子铁心表面光滑对于槽数较少的永磁电机，槽口宽与槽距比值 较小，在分析一个槽距内气隙磁导变化时，可忽略相邻槽之间的影响；但对于槽 数较多的永磁电机，相邻槽之间的影响较大，不能忽略本文只对槽数较少的永 磁电机进行讨论，故可由定子铁心单个槽时的物理模型进行分析图1所示为转 子铁心表面光滑、定子铁心单个槽时的物理模型为便于分析作如下假设：（1） 定子铁心表面开槽，转子铁心表面光滑；（2） 槽深为无限深；（3） 铁心磁导率为无穷大，定、转子铁心表面均为等标量磁位面，一面为0， 另一面为W0；（4） 永磁材料退磁曲线为直线；（5） 永磁体以相同磁导率的材料填充。

在图1中，若定、转子铁心表面标量磁位差为W，利用许-克变换可求得永磁 体、气隙和槽内区域任意点的磁通密度B由于空气、永磁体磁导率为常数，所 以任意点磁通密度B与定、转子铁心表面之间的标量磁位差W呈正比关系参 考文献［7］，定义该比例系数K为该点对应的等效比磁导1，即B二W・1S1为在气隙半径r处一个槽对气隙磁场的影响宽度，t,DiAfdbution of flux density within a teeth pitch一个齿距内的气隙磁通密度分布如图2所示，其中B表示气隙磁通密度因开 槽而造成的脉振的振幅 为槽节距在保证气隙磁通不变的条件下，对图2中S区间内的磁密波形可利用[0, 2p] 区间的余弦函数进行拟合，从图2可看出余弦函数的幅值为B，周期为S由卡 特系数的定义可知： 0 1在任意气隙半径r处:式中B为定子齿面下均匀气隙的磁密;B为沿定子槽中心线上半径r处的磁密在气隙半径r处，由文献[8]中许-克变换可求得：-[l 十饱 /勿')"】+ v;)]4 } (4)式中«为槽口宽度；V由下式决定：% 2 Vfl +V■ 空:撒函芝卜 ⑸% 垢 Vct2 + v2且 a1 - i对于内转子株机y=r-(RA -g-hm) (6)其中R为定子内径。

由以上分析可得，永磁电机定子铁心单个槽的气隙比磁导为式中a为距槽中心线的空间位置角；a为槽距角；Q为定子槽数；菽如“ 以齿面下气隙均匀处的比磁导为基值，在气隙半径-处，永磁电机单个槽的相对比磁导函数为忽略相邻槽之间的影响，则整个永磁电机的气隙比磁导分布为周期函数，且 周期为at在极坐标下，以a相绕组轴线为坐标轴，将式(8)进行傅立叶分解得 电机等效气隙内在半径r处的相对比磁导分布函数为■ 192(r,tr)二(J"#叫海 g灯 口 + %) (9)式中 ％ =」一§硕「)；畋=■£顷十""化却曲如 切头:a为a相绕组轴线与图1中槽中心线之间的空间夹角Sa由式(1广⑹可知：如图1所示，在永磁电机定子铁心的槽口区域，对于任 意a空间位置角，不同的气隙半径r处具有不同的& (r)值由式(7)可知不同的 P (r)值具有不同的气隙相对比磁导函数值，可见在不同气隙半径 处槽对气隙 磁场的影响程度并不相同如图3所示，为气隙中定子铁心内圆、气隙平均半径 和永磁体表面处的相对比磁导函数分布波形对比图3(a)、(b)、(c)可看出气 隙相对比磁导与气隙半径的对应关系0.0 QJ Q.4 0# O.S LC州ndttl 用陈加对比谱导FHwiiMH-傲r055O.O g 0J 0.6 1#10 气期职对比也I?S5呵隙中不同半役边钠相对比磁导fl^3 Air-gap rrUEilc spline pfnac^nct fll Yflried nkdiu3空载气隙磁场的计算在忽略铁心饱和时，永磁电机定子开槽对气隙磁场的影响可用相对比磁导函 数加以计算。

永磁电机空载气隙磁场可等效为永磁磁极在光滑气隙内产生的气隙 磁场与气隙相对比磁导函数的乘积当忽略定子开槽的影响时，以永磁磁极N极为极坐标轴，永磁磁极在光滑气 隙内产生磁场的径向分量为[9]当np =1时5尸(np*l) + 2「5例CD敏叩8)Ul)呷* n、叩-L式中JMn sht［（nap7i/2）（12）其中a』为永磁体极弧系数.设在极坐标系下，以a相绕组轴线为极坐标轴当转子N极轴线位于g角位 置时，电机气隙内半径r处气隙磁场的径向分量为鸟心X,力=耳0月-一忐（虬（13）式中 职”/）为定子表面光滑II转子拉于r 角位置时的气隙磁密径向分最4相绕组反电动势的计算当永磁无刷直流电机转子旋转时，永磁磁极产生的磁场是旋转的，而定子齿 槽是静止不动的，因此电机中空载气隙磁密分布是随转子旋转而变化的同时每 相绕组所交链的磁链也随时间而变化变化的磁链在相绕组中感生旋转电动势E = 利仙 （14）由于齿槽的影响，会使感生电动势E的变化波形中含有一定的波纹值得注 意的是，永磁无刷直流电动机负载工作时，电枢绕组电流含有大量的谐波分量， 电枢磁场为跳跃式步进磁场，所以电枢反应磁场也在相绕组中感生电动势（变压 器电势），尤其是绕组换向时电枢磁场的瞬变过程，会产生较大的感生电动势脉 冲。

本文只讨论空载时绕组的感生电动势以集中式绕组为例，设每个线圈节距为a机械角度，每相绕组串联线圈个数 为N，当转子N极轴线与a相绕组轴线重合时为相绕组反电动势的计时起点，即 t=0时刻，则由式（11）、（13）和（14）计算出永磁电机a相绕组的感生电动势为n N.q-.nJ""'当5仅-＞）球（「・站小（】5）式中气为第i个线圈首边的空间位置角；w为转子角速度；N5为单个集中线圈的 匝数；r=w.t；同理利用以上方法，根据绕组的具体排列方式可以计算分布绕组、短距绕组、 分数槽绕组等各种绕组形式的相绕组感生电动势瞬时值，进而可计算出瞬态的绕 组线电势和电枢绕组电流等参数5解析计算结果分析比较为了验证本计算模型的有效性，本文利用以上计算方法，对一台6极、9槽， 齿面加两个辅助凹槽的永磁无刷直流电机的空载气隙磁场和相绕组感生电动势 进行解析计算，同时利用二维有限元对其进行计算，两者结果进行比较如图4 所示图中气隙磁密分布波形含有较大的齿波纹，波形上凸处对应齿的位置，波 形下凹处对应槽的位置比较图4 (a)和(b)的曲线可看出：在气隙中，不同 径向位置齿槽对气隙磁密的影响程度不同，即气隙中不同径向位置的相对比磁导 不同，这与前面的分析结果是一致的。

在定子齿边缘处有限元计算值较解析计算 值稍大，这是由于在定子齿边缘处磁场具有聚磁效应，使该处的磁密变高，并且 气隙半径越接近定子齿，这种聚磁效应越明显上述解析解不能精确考虑聚磁效 应，除此以外，解析计算波形其余各点均与有限元结果相吻合，从图中可看出本 解析计算结果与二维有限元计算结果吻合较好，可见本解析计算方法是准确的、 可靠的图5为该永磁无刷直流电机在1500r/min时，电机相绕组的感生电动势波形 上述样机为了减小齿槽定位力矩，在定子齿面上加两个辅助凹槽，由于齿槽对气 隙磁场分布的影响使相绕组反电动势波形中也含有较明显的波纹从图中还可看 出解析计算波形与二维有限元计算结果吻合很好图5中的相绕组电动势齿波纹 会引起相绕组电枢电流的脉动，导致电机产生电磁转距波动因此电机设计时应 考虑齿槽结构对电机的气隙磁场和反电动势的影响，特别是在研究永磁无刷直流 电机的转矩波动和消除转矩波动措施时更应该充分考虑这一点本解析计算方法 可以精确考虑齿槽结构对空载气隙磁场和相绕组空载反电势的影响，可为电机设 计和电机的精确控制提供可靠的依据6结论有限元方法可以精确计算永磁无刷直流电机的磁场分布和相绕组空载感生电 动势波形，但是其复杂的前处理和较长的计算时间不便于工程设计应用。

本文基 于电磁场的分离变量法和许-克变换，建立了考虑齿槽效应的永磁电机气隙磁场 的解析计算方法可以简捷快速地求解空载气隙磁场分布及相绕组空载感生电动 势变化波形，并较好地反映了齿槽结构与电机空载气隙磁场分布和相绕组空载感 生电动势变化波形的对应关系，为精确分析计算电机的各种工作特性提供了可靠 的依据参考文献[1] Boules N. Prediction of no-load flux density distribution in PM machines[J]. IEEE Trans. On Industrial Application， 1985，21(4)： IA-21： 633-643.。