概率论与数理统计课后习题答案复旦大学 韩旭里)资料.pdf

概率论与数理统计概率论与数理统计 复旦大学 习题习题 一一 1．略.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C 为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C 都不发生； （2） A与 B发生，C 不发生； （3） A，B，C 都发生； （4） A，B，C 至少有一个发生； （5） A，B，C 都不发生； （6） A，B，C 不都发生； （7） A，B，C 至多有 2 个发生； （8） A，B，C 至少有 2 个发生. 【解】【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC （4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=A BCUU (6) ABC (7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC 3.略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且 P（A）=0.7,P(A− B)=0.3，求 P（AB）. 【解】【解】 P（AB）=1− P（AB）=1− [P(A)− P(A− B)] =1− [0.7− 0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下 P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下 P（AB）取到最小值？ 【解】【解】（1） 当 AB=A时，P（AB）取到最大值为 0.6. （2） 当A∪B=Ω 时，P（AB）取到最小值为 0.3. 6.设A，B，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 第 1 页 共 105 页1 P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C 至少有一事件发生的概率. 【解】【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)− P(AB)− P(BC)− P(AC)+P(ABC) = 1 4 + 1 4 + 1 3 − 1 12 = 3 4 7.从52张扑克牌中任意取出 13张，问有5 张黑桃，3张红心，3 张方块，2张梅花的概率 是多少？ 【解】【解】 p= 533213 1313131352 C C C C /C 8.对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】【解】（1） 设 A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅 1 个，故 P（A1）= 5 1 7 =（ 1 7 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设 A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为 65，故 P（A2）= 5 5 6 7 =( 6 7 )5 (3) 设A3={五个人的生日不都在星期日} P（A3）=1− P(A1)=1− ( 1 7 )5 9.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中 M件正品.从中随机地取出 n件（n30.如图阴影部分所示. 2 2 301 604 P == 22.从（0，1）中随机地取两个数，求： （1） 两个数之和小于 6 5 的概率； （2） 两个数之积小于 1 4 的概率. 【解】【解】 设两数为 x,y，则 0   +−−  构成的图形，即 0 2 0 2 2 a x a y a xya  乙反） 第 11 页 共 105 页11 由对称性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反） 因此P(甲正乙正)= 1 2 46.证明“确定的原则”（Sure− thing）：若 P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则 P（A）≥P(B). 【证】【证】由P（A|C）≥P(B|C),得 ()() , ( )( ) P ACP BC P CP C ≥ 即有 ()()P ACP BC≥ 同理由 (|)(| ),P A CP B C≥ 得 ()( ),P ACP BC≥ 故 ( ) ()()()()( )P AP ACP ACP BCP BCP B=+≥+= 47.一列火车共有n节车厢，有 k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至 少有一个旅客的概率. 【解】【解】 设 Ai={第 i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则 121 (1)1 ()(1) 2 ()(1) 1 ()(1) n k k i k k ij k iii n P A nn P A A n n P A AA n − − ==− =− − =− L L 其中i1,i2,…,in− 1是1，2，…，n中的任n− 1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是 21 121 1 1 1 2 2 1 1 11 1 1 123 1 11 ()(1)C (1) 2 () C (1) 1 () C(1) 0 ()( 1) n n n kk in i k ijn ij n nk niiin iiin n n n in i SP An nn SP A A n n SP A AA n S PASSSS − − = ≤ 0 如何小，只要不断地独 立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】【证】 在前n 次试验中，A至少出现一次的概率为 1 (1)1() n nε−−→→ ∞ 49.袋中装有m 只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只， 将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】【解】设A={投掷硬币 r 次都得到国徽} B={这只硬币为正品} 由题知 ( ), ( ) mn P BP B mnmn == ++ 1 (|), (|)1 2r P A BP A B== 则由贝叶斯公式知 ()( ) (|) (|) ( )( ) (|)( ) (|) P ABP B P A B P B A P AP B P A BP B P A B == + 1 2 1 2 1 2 r r r m m mn mn mn mnmn + == + + ++ g gg 50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 N 根火柴，每次用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r 根的概率 又有多少？ 【解】【解】 以 B1、 B2记火柴取自不同两盒的事件，则有 12 1 ()() 2 P BP B==.（1）发现一盒已空， 另一盒恰剩 r 根，说明已取了 2n− r 次，设 n 次取自 B1盒（已空），n− r 次取自 B2盒， 第 2n− r+1 次拿起 B1，发现已空。

把取 2n− r 次火柴视作 2n− r 重贝努里试验，则所求概 率为 12 2 1111 2C( ) ( )C 2222 nnn rn n rn r r r p − −− − ==g 式中2 反映B1与B2盒的对称性（即也可以是 B2盒先取空）. （2） 前 2n− r− 1 次取火柴，有n− 1 次取自 B1盒，n− r 次取自B2盒，第 2n− r 次取自B1盒 故概率为 11121 22121 1111 2C( )( )C( ) 2222 nnn rnn r n rn r p −−−−− − − −− − == 51.求n重贝努里试验中 A出现奇数次的概率. 【解】【解】 设在一次试验中 A出现的概率为 p.则由 第 13 页 共 105 页13 00112220 ()CCCC1 nnnnnn nnnn qpp qpqp qp q −− +=++++=L 0011222n0 ()CCC( 1) C nnnnnn nnnn qpp qpqp qp q −− −=++−+ −L 以上两式相减得所求概率为 11333 1 CC nn nn ppqp q −− =++L 1 [1 () ] 2 n qp=−− 1 [1 (1 2 ) ] 2 n p=−− 若要求在n 重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得 2 1 [1 (1 2 ) ] 2 n pp=+−. 52.设A，B是任意两个随机事件，求 P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. 【解】【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB （A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB 所求 ()()( )()AB AB AB AB++++  [()( )]ABABABAB=+UI =∅ 故所求值为0. 53.设两两相互独立的三事件，A，B和C 满足条件： ABC=Φ，P(A)=P(B)=P(C) 即 200 200 200 1 C(0.02) (0.98)0.01 kkk k N − =+ ∑ 利用泊松近似 200 0.024.npλ==×= 第 19 页 共 105 页19 4 1 e 4 ()0.01 ! k k N P XN k − ∞ =+ ≥ ∑ B 查表得N≥9.故机场至少应配备 9 条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少 （利用泊松定理）？ 【解】【解】设X表示出事故的次数，则 X~b（1000，0.0001） (2)1(0)(1)P XP XP X≥= −=−= 0.10.1 1 e0.1 e −− = −−× 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数 X满足 P{X=1}=P{X=2}，求概率 P{X=4}. 【解】【解】设在每次试验中成功的概率为 p，则 14223 55 C(1)C(1)pppp−=− 故 1 3 p = 所以 44 5 1210 (4)C ( ) 33243 P X ===. 9.设事件 A在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A发生不少于 3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】【解】（1） 设 X表示5次独立试验中A发生的次数，则 X~6（5，0.3） 5 5 5 3 (3)C (0.3) (0.7)0.16308 kkk k P X − = ≥== ∑ (2) 令 Y 表示7次独立试验中 A发生的次数，则 Y~b（7，0.3） 7 7 7 3 (3)C (0.3) (0.7)0.35293 kkk k P Y − = ≥== ∑ 10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X服从参数为（1/2）t的泊松 分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午 12时至下午3 时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午 12时至下午5 时至少收到1次呼救的概率. 【解】【解】（1） 3 2 (0)eP X − == (2) 5 2 (1)1(0)1 eP XP X − ≥= −== − 11.设P{X=k}= kkk pp − − 2 2 )1(C, k=0,1,2 P{Y=m}= mmm pp − − 4 4 )1(C, m=0,1,2,3,4 分别为随机变量X，Y 的概率分布，如果已知 P{X≥1}= 5 9 ，试求P{Y≥1}. 第 20 页 共 105 页20 【解】【解】因为 5 (1) 9 P X ≥=，故 4 (1) 9 P X = −≤ 由于n 很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有 第 21 页 共 105 页21 5 14 0 e 5 (15)10.000069 ! k k P X k − = ≈ −≈ ∑ (2。