专题12 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合题-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题.docx

2023-2024学年九年级数学下册常考压轴题专题12难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合题姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________【考点导航】目录【典型例题】 1【类型一 解直角三角形应用与特殊三角形的综合】 1【类型二 解直角三角形应用与特殊四边形的综合】 8【类型三 解直角三角形应用与其他知识的综合】 14【典型例题】【类型一 解直角三角形应用与特殊三角形的综合】例题：（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐EA=6米，屋顶E到支点C的距离EC=5.4米，墙体高CF=3.5米，屋面坡角∠ECD=28°．（参考数值：）（1）求房屋内部宽度FG的长；（2）求点A与屋面FG的距离．【变式训练】1．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干AB搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆CD，用绳子拉直CE后系在树干AB上的点A处，使得A，C，E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若CE=CF=3米，CD⊥EF于点O（参考数据：，，）  （1）天晴时打开“天幕”，若∠ACF=150°，求遮阳宽度EF；（结果保留一位小数）（2）下雨时收拢“天幕”，∠ACF由150°减小到120°，求点O下降的高度．（结果保留一位小数）2．（2023春·海南海口·九年级海口一中校考期中）油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录；在一次活动中，小文了解了油纸伞文化的内涵，决定进行设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时．（1）　　，　　；（2）求线段的长；（结果保留整根号）（3）请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：）3．（2023·河南周口·校联考二模）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处（），使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”，于点，支杆与树干的横向距离．    （1）天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度．（2）下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）4．（2023·浙江绍兴·统考三模）图是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图，已知，互相平分于点，，若，．  （1）求的长．（2）求点到底架的高（结果精确到，参考数据：，，）．【类型二 解直角三角形应用与特殊四边形的综合】例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．  （1）判断四边形的形状并给予证明；（2）若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据：【变式训练】1．（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，  （1）判断四边形的形状，并说明理由．（2）求的长．（参考数据：）2．（2023·山东青岛·统考二模）如图1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形为其横截面，为吸管，其示意图如图所示，，，．将杯子绕点按顺时针方向旋转，使与水平线平行（如图3）．（1）杯子与水平线的夹角______；（2）由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？（结果精确到，参考数据：，，）3．（2020·江西赣州·统考一模）如图是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且．当点P向下滑至点N处时，测得时求滑槽MN的长度；此时点A到直线DP的距离是多少？当点P向上滑至点M处时，点A在相对于的情况下向左移动的距离是多少？结果精确到，参考数据【类型三 解直角三角形应用与其他知识的综合】例题：（2023秋·山东威海·九年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，）  （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离；（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．【变式训练】1．在日常生活中我们经常使用订书机，如图，是订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B滑动，在滑动过程中，的长保持不变，已知．  （1）如图1，当，B、E之间的距离为，求连接杆的长度．（2）现将压柄从图1的位置旋转到与底座垂直，如图2所示，求在此过程中点E滑动的距离．2．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考阶段练习）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．  （1）当悬臂与桌面平行时，=___________°（2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？（3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）3．（2023·江西吉安·校考模拟预测）一抽纸纸筒被安装在竖直墙面上，图1是其侧面示意图，其中，，，纸筒盖可以绕着点旋转，关闭时点与点重合，，，，．  （1）若，求纸筒盖关闭时点运动的路径长；（2）如图2，当一卷底面直径为的圆柱体纸巾恰好能放入纸筒内时，求纸筒盖要打开的最小角的度数．（参考数据：，，，）4．（2023·河南南阳·校联考三模）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．  （1）如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离的长；（2）如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，）5．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点B旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为．  （1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）6．（2023·江苏镇江·统考中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．（1）图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数．（2）图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）（3）在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据：）25参考答案【典型例题】【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】例题：【答案】（1）9.5米；（2）3.2米【分析】（1）如图，过E作EH⊥CD，交于CD点O，交FG于点H，则EH⊥FG，运用三角函数解直角三角形可得CO≈4.752，然后再根据等腰三角形的性质可得CD=2CO≈9.5，然后再根据矩形的性质即可解答；（2）如图，过A作AI⊥EH，交EH于点I．再解直角三角形可得EI，EO的长，然后再求得EH，最后根据IH=EH-EI，即可解答．【详解】（1）解：如图，过E作EH⊥CD，交于CD点O，交FG于点H，则EH⊥FG，则在中，（米），∵是等腰三角形，∴（米）．∵四边形是矩形，∴（米）；（2）解：如图，过A作，交于点I．在中，（米），在中，（米），∴（米），∴（米），即点A到屋面的距离约为米．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键．【变式训练】1．（1）米；（2）米【分析】（1）根据三线合一求出，解直角三角形求出，可得；（2）解直角三角形求出，过点作交于点H，再解直角三角形求出，根据求解即可．【详解】（1）解：∵，且，∴平分，，∵，∴，在中，，∵米，∴米，则米，故遮阳宽度为米．  （2）∵在中，，∴米，当从变为，如图所示：旋转到，则，过点作交于点H，则，∵在中，，∴米，∵，∴米，∴O点下降到H点的距离为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．解题的关键在于抽象出直角三角形并正确的运算．2．（1），；（2）；（3）【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再证明，然后利用全等三角形的性质可得，即可解答；（2）过点B作，垂足为E，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（3）利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【详解】（1）解：（1）∵平分，，∴，∵，∴，∴，故答案为：；；（2）解：（2）过点B作，垂足为E，在中，，∴，，在中，，∴，∴线段的长为；（3）解：（3）∵，∴，∴，解得：，∴最少需要准备长的伞柄．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．（1）；（2）【分析】（1）在中利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答；（2）过点作于点，得，再在中锐角三角函数的定义可得，最后求出和时的长即可解答．【详解】（1）解：由对称性可知，，，在中，，∴，∴，∴，答：遮阳宽度为；（2）解：如图，过点作于点，  ∴，∵，，∴，∴，∴，在中，∵，当时，，当时，，∴点下降的高度为，答：点下降的高度为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用和锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（1）；（2）【分析】（1）根据题意得出，由，证明与均是正三角形，即可得出答案；（2）在中，利用正弦定义求解即可.【详解】（1）解：，，互相平分于点O。